Расчет стержней и стержневых систем

161

Касательные напряжения в поперечных сечениях круглого стержня от кру-

тящего момента определяются в цилиндрической системе координат формулой

τxα = MIxp(x)r .

Касательные напряжения в сечении от кручения будут складываться с касательными напряжениями от сдвига, поэтому лучше в данном случае использовать представление касательного напряжения от кручения в виде составляющих по осям декартовой системы координат

При одновременном действии перерезывающих сил и крутящего момента каса-

тельные напряжения τyz . Касательные же напряжения, действующие в одной

плоскости поперечного сечения, складываются и дают одно суммарное касательное напряжение τ . Тогда для ортогональной системы координат, связанной с поперечными сечениями и плоскостью, проходящей через векторы касательного и нормального напряжений в сечении, получаем плоское напряжённое состояние частного вида. В указанной системе координат на координатных площадках действуют всего два напряжения σ и τ. Малый параллелепипед, соответствующий этой системе координат, с действующими на него всеми напряжениями изображён отдельно на рис. 4.1. Поскольку рассматривается общий случай нагружения стержня, то данное напряжённое состояние является при такой постановке задачи самым общим для стержней. В результате упрощаются

162

формулы для эквивалентных напряжений при анализе прочности стержней.

По принципу суперпозиции могут быть найдены и все другие параметры напряжённо деформированного состояния стержней от действия нагрузки общего вида. Например, перемещения точек оси стержня u0 (x), v0 (x), w0 (x) и угол поворота поперечного сечения ϕ(x) могут быть найдены интегрированием соотношений упругости для отдельных видов деформаций

Прогибы от перерезывающих сил Qy (x), Qz (x) обычно малы по сравнению с прогибами от изгибов v0 (x) и w0 (x) и можно их не учитывать. Осевое перемещение U произвольной точки стержня с координатами x, y, z можно найти, складывая с учётом знака перемещения U от растяжения и двух изгибов

4.2. Косой изгиб

Косым изгибом называется общий случай изгиба, при котором изгиб про-

исходит в плоскостях обеих главных центральных осей поперечного сечения стержня.

При косом изгибе осевую силу N (x) и крутящий момент M x (x) полагают равными нулю. Поэтому в соответствии с общей формулой (4.4) для нормальных напряжений имеем

σx (x, y, z) = − MIzz(x) y − MIyy(x)z .

163

Нейтральная линия (на рис. 4.3 обозначена Н. Л.), на которой σx = 0, в соответ-

представляющим собой уравнение прямой, проходящей через начало координат. Из (4.11) с учетом введенных обозначений получим:

вии с правилами знаков теоретической механики (в соответствии с этими правилами составляющая вектора момента вдоль оси считается положительной, если она совпадает с направлением оси), связанные с M y (x), M z (x) соотношениями M y (x) = −M y (x), M z (x ) = M z (x ). Очевидно, что

M = β z tg ,

M y

где β – угол, определяющий направление вектора изгибающего момента в сечении (рис.4.3). Из выражения (4.12) видно, что при J y ¹ Jz , tga ¹ tgb, т. е. a ¹ b и направления вектора M и нейтральной линии в общем случае не совпадают. При этом нейтральная линия всегда поворачивается от направления вектора момента в сторону оси с меньшим моментом инерции, что можно использовать при проверке решения по физическому смыслу. Можно показать, что вектор перемещений точек оси стержня в сечении всегда направлен перпендикулярно нейтральной линии.

Предположим, что вектор изгибающего момента порождается парой сил, равномерно распределенной вдоль всего стержня (рис. 4.3) и плоскость действия этой пары перпендикулярна вектору момента. Перемещения точек оси стержня происходит в плоскости, перпендикулярной нейтральной линии, т. е. ось балки выпучивается из плоскости действия нагрузки. Поэтому такой изгиб называют косым.

Отметим, что при изменении от сечения к сечению соотношения между M z и M y изменяется и направление вектора перемещений точек оси стержня, в

результате чего изогнутая ось стержня оказывается пространственной кривой. Для более детального знакомства с теорией сложных деформаций стерж-

ней можно обратиться к литературе [1 - 5].

4.2.1. Алгоритм расчета балки на косой изгиб

Для балки постоянного поперечного сечения (рис. 4.4), нагруженной в сечениях А силой P1 под углом α1 к оси у (угол α считается положительным, если он отсчитывается против часовой стрелки от оси у) и в сечении В силой P2

под углом α2, требуется:

165

в котором моменты в горизонтальной и вертикальной плоскостях не равны нулю. При этом угол наклона нейтральной линии α по отношению к оси у необходимо вычислять с помощью формулы (4.12).

6. Определить полное перемещение точки А, лежащей на оси балки, для

– вычисляем полное пермещение в точке A по формуле

VA = (VyA )2 + (VzA )2 = ((0,662)2 + (5,721)2 ) ×10−5 = 5,75 ×10−5 м.

4.3. Внецентренное растяжение и сжатие

При внецентренном растяжении-сжатии (нагрузка – сила P параллельна оси стержня и не проходит через центр тяжести поперечного сечения) в попе-