Расчет стержней и стержневых систем

141

для каждого пролета, как для двухопорной балки (рис. 3.17, е – л). Единичный i-й момент изгибает только i-ю и (i+1)-ю балки. Если использовать для вычисления коэффициентов канонических уравнений метода сил интеграл Мора, то из рис. 3.17 видно, что коэффициенты δi1, δi2 ,...,δii−2 , δii+2 ,..., δin обращаются в

нуль. Коэффициенты δii−1, δii , δii+1 и свободные члены ip после использования метода Верещагина для вычисления интегралов Мора равны:

Sлл = wл × aл ; Sпп = wп × aп .

Все члены уравнения (3.9) умножим на 6 и член DiP перенесем в правую часть. Тогда уравнение трех моментов для любой i-й промежуточной опоры запишется:

где Mл, Mср, Mп - изгибающие моменты на левой (i-1), средней i и правой (i+1) опорах; lл , lп - длины левого и правого по отношению к i-й опоре пролетов; EJл , EJп -постоянные в пределах пролета изгибные жесткости балки; Sлл , Sпп - статические моменты площадей wл , wп от внешних сил относительно левой и

правой опор (рис. 3.18).

Для неразрезной балки постоянной жесткости EJ = const , κi = li . Тогда уравнение (3.11) принимает вид:

Частные случаи применения уравнения трех моментов

1.Неразрезная балка с шарнирными крайними опорами: искомые моменты на крайних шарнирных опорах равны нулю (см. рис. 3.19, а),

2.Неразрезная балка с консолью. Консольная часть балки в основной системе отбрасывается, и ее действие заменяется известным внешним моментом и поперечной силой на соответствующей крайней опоре. Поперечная сила на опорные моменты влияния не оказывает (рис. 3.19, б).

3.Неразрезная балка с защемлением. Защемления на крайних опорах бал-

ки в основной системе условно заменяют дополнительными пролетами длиной l0 бесконечно большой изгибной жесткости. Для первой опоры (рис. 3.19, в)

142

уравнение трех моментов запишется в виде

2M1 ×l1 + M2 ×l2 = -6 Sl12 ; (3.13)

1

M0 = 0; S00 = 0 .

Рис. 3.17

144

Здесь m – число пролетов, i – номер пролета. Правильность построения эпюр проверяется по дифференциальным зависимостям между внешней погонной нагрузкой qi , перерезывающей силой Qy и изгибающим мо-

ментом M z .

8.Подбираются размеры поперечного сечения балки по условиям прочности в пролетах.

Решение задач

Пример. Рассчитать на прочность неразрезную балку (рис. 3.20, а) двутаврового поперечного сечения переменной и постоянной изгибной жесткостей и исследовать вес балки. Материал балки - сталь; [s]=160 МПа ; [t]=100 МПа .

Рассмотрим расчет неразрезной балки на примере этого задания. В методических указаниях задаются коэффициенты mi , ki , ni в выражениях

l2 = 9 м , l3 = 5 м , l4 = 2 м .

Решим данный пример в двух вариантах: балка переменной и постоянной жесткости.

Неразрезная балка переменной изгибной жесткости

1. Поскольку левые и правые торцы балки шарнирно оперты, степень статической неопределимости равна двум, т.е. числу промежуточных опор (рис. 3.20, а). Строим основную систему (рис. 3.20, б). На рис. 3.20, в показана основная система, загруженная лишними неизвестными M 2 , M3 .

2. Записываем уравнения трех моментов для 2-й и 3-й опор, полагая неизвестными M1, M 2 , M3 , M 4 :

3. Строим эпюры пролетных моментов; эпюры изгибающих моментов от внешних нагрузок в каждом пролете (рис. 3.20, г).

146

Строим эпюру моментов M 2 , M 3 (рис. 3.20, д).

5. Строим эпюру изгибающих моментов, как сумму найденных значений эпюр моментов M 2 , M 3 и пролетных моментов от внешних нагру-

зок (рис. 3.21, в).

6. Определим опорные реакции. Для этого составим выражения изгибающих моментов на опорах 2 и 3 и приравняем их к полученным значениям моментов M 2 , M3 . Рассматривая действие левых сил, запишем уравнения:

åM2л = R1l1 − q12l12 = M2 ;

Рис. 3.20