
Расчет стержней и стержневых систем
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
121 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
B |
|
|
|
|
|
|
C |
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
y |
|
M |
|
x2 |
|
|
|
|
|
X2=24,94 кН |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
MA |
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3,63 |
|
||||||||||||||||||||
A |
HA |
|
X1=-3,63 кН |
- |
|
|
|
|
|
кН |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
18,69 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
RA |
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|||||
|
|
18,69 |
|
|
15,06 |
9,88 |
|
|
|
15,55 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-24,94 |
13,81 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,25 м |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-46,19 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,25 м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
Qy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Mz |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
кН |
|
|
|
|
|
|
13,81 кН.м |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г |
|
|
|
Рис. 3.8 8. Проверяем правильность построенных итоговых эпюр внутренних
силовых факторов.
Статическая проверка (проверка равновесия узлов).
Вырежем из рамы узлы B и C, заменив действие отброшенных частей внутренними усилиями и моментами. Проверим для каждого узла выполнение уравнений равновесия.
Узел B (рис. 3.9):
å x = 0; − Qy3 + N4 = −0 + 0 ≡ 0. |
B N4=0 |
M=60 кН.м |
M4=46,19 кН.м |
å y = 0; − N3 − Qy4 = |
B |
|
|
Qy3=0 |
|
|
|
= −(−18,69) +18,69 = 0. |
Qy4=18,69 кН |
M3=13,81кН.м |
|
åmB = 0; M − M3 − M4 = |
N3=18,69 кН |
|
|
|
|
|
|
= 60−13,81− 46,19 = 0. |
Рис. 3.9 |
|
Узел C (рис. 3.10):
å x = 0; − N3 − Qy2 + N1 = |
Qy3=18,69 кН |
M3=9,88 кН.м |
|||
|
C |
|
C |
||
= −0 − 0 + 0 ≡ 0. |
N3=0 |
N1=0 |
|||
|
|
||||
å y = 0; Qy3 − N2 − Qy1 = |
Qy2=0 |
|
Q =15,06 кН |
M =0 |
|
= 18,69 − 3,63−15,06 = 0. |
|
|
y1 |
2 |
åmC = 0; − M3 − M2 + M1 = |
N2=3,63 кН |
|
Рис. 3.10 |
||
−9,88− 0+ 9,88 = 0. |
||
|
м . Н к
8 8 , 9 = 1 M

122
Таким образом, уравнения равновесия узлов удовлетворяются. Заметим, что на рис. 3.9 и 3.10 изображены положительные направле-
ния внутренних усилий N и Qy . Величины этих усилий с учетом знака снимаются с соответствующих эпюр. Изгибающие моменты на этих рисунках показаны с учетом их фактического направления, определяемого по эпюре Mz . Напомним, что эпюра изгибающих моментов располагается со стороны сжатых волокон.
Деформационная проверка. |
|
|
|
|
Выбираем новую основную систему, отбра- |
B |
|
C |
D |
сывая две связи в опоре A (рис 3.11). Строим |
|
O |
|
|
эпюры изгибающих моментов в новой основной |
|
E |
|
|
|
|
|
||
системе от единичных обобщенных усилий, при- |
A |
|
|
|
ложенных в направлении отброшенных связей:
Рис. 3.11
От момента X3 = 1 (рис. 3.12, а).
Определяем из уравнений равновесия опорные реакции.
åx = HA = 0; Þ HA = 0.
åmD = - X3 + HAl - RE l1 = 0; Þ RE = -0,5 м−1.
åmC = - X3 + HAl + RDl1 = 0; Þ RD = 0,5 м−1.
Проверка: å y = 0; RE + RD = -0,5+ 0,5 = 0.
Записываем по участкам аналитические выражения для изгибающих моментов, вычисляем их значения в характерных точках и строим эпюру Mz3.
Участок DC (0 ≤ x1 ≤ l1 = 2 м): Mz3 (x1) = RD x1 = 0,5x1;
Mz3 (x1 = 0) = 0; Mz3 (x1 = l1) = 1.
Участок EC
(0 ≤ x2 ≤ l1 = 2 м): Mz3 (x2 ) = 0.
Участок AB
(0 ≤ x3 ≤ l = 3 м):
Mz3 (x3 ) = X3 − HA x3 = 1.
Участок BC
(0 ≤ x4 ≤ l = 3 м):
Mz3 (x4 ) = X3 − HAl = 1.
|
x4 |
x1 |
RD |
1 |
|
|||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
B |
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
xC2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y x3 |
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
X3=1 |
|
|
|
|
Mz3 кН.м |
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
A |
x HA |
RE |
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
б |
|||||||
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эпюра Mz3 показана на |
Рис. 3.12 |
рис. 3.12, б.
От усилия X4 = 1 (рис. 3.13, а).
Определяем из уравнений равновесия опорные реакции.

123
åx = HA = 0; Þ HA = 0.
åmD = - X4 (l + l1) + HAl - RE l1 = 0; Þ RE = -2,5.
åmC = - X4l + HAl + RDl1 = 0; Þ RD = 1,5.
|
Проверка: |
å y = 0; |
X4 + RE + RD = 1+1,5- 2,5 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Записываем по участкам аналитические выражения для изгибающих |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
моментов, вычисляем их зна- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
RD |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
чения в характерных точках и |
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
строим эпюру Mz4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
x2 |
|
|
C |
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
Участок DC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
(0 ≤ x1 ≤ l1 = 2 м): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
Mz4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Mz4 (x1) = RD x1 = 1,5x1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
x HA |
|
|
|
RE |
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
M z4 (x1 = 0) = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|||||||||||||||||||||
M z4 (x1 = l) = 3 м . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X4=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Участок EC (0 ≤ x2 ≤ l1 = 2 м): |
Mz4 (x2 ) = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Участок AB (0 ≤ x3 ≤ l = 3 м): |
|
Mz4 (x3) = −HA x3 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Участок BC (0 ≤ x4 ≤ l = 3 м): |
|
Mz4 (x4 ) = X4 x4 − HAl = x4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Mz4 (x4 = 0) = 0; Mz4 (x4 = l) = 3 м. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Эпюра Mz4 |
показана на рис. 3.13, б. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
Определяем по формуле Мора перемещения в направлении связей, от- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
брошенных в узле A. Эти перемещения должны равняться нулю. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
4 |
|
Lk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Di |
= |
|
|
|
|
å |
|
ò M zi M z dx |
|
|
(i = 3,4) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EJ z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
él1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
ù |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
= |
|
|
ê |
M |
|
M |
|
dx + |
ò |
M |
|
M |
|
dx + |
ò |
M |
|
|
M |
|
dx |
ú = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
EJ z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
êò |
|
z3 |
|
z |
|
1 |
|
|
|
|
|
z3 |
|
|
z |
|
3 |
|
z3 |
|
|
z |
|
4 ú |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ë0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
û |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
é2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ù |
|
|
|
|
|
|||
= |
|
ê |
|
0,5x (24,94x -10x |
2 )dx + |
ò |
1×13,81dx + |
ò |
1× |
(-46,19 +18,69x |
|
|
)dx |
ú = |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
EJ z |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
êò |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
4 ú |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
ë |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
û |
|
|
|
|
|
=EJ1 z (24,94 x13
6 −10 x14
8) 20 +13,81x3 30 + (−46,19x4 +18,69x42
2) 30
=
=(158,79 −158,57) EJz = 0,22
EJz ≈ 0.
Погрешность равна 158,570,22 100%≈ 0,14%< 5%.

|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
124 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
él1 |
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
ù |
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
= |
|
ê |
M |
|
M |
|
dx + |
ò |
M |
|
|
M |
|
dx |
ú = |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
EJ z ê |
ò |
|
z4 |
|
z |
1 |
|
z4 |
|
|
z |
|
4 ú |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
ë |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
û |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
é2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
ù |
|
||
= |
|
ê |
|
1,5x (24,94x -10x 2 )dx + |
ò |
x |
|
(-46,19 +18,69x |
|
)dx |
|
ú |
= |
||||||||||||||
EJ z |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
êò |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
4 |
|
|
4 |
|
4 |
ú |
|
||||||
|
|
|
ë |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
û |
|
=EJ1 z (37,41x13
3−15x14
4) 20 + (−46,19 x42
2 +18,69x43
3) 30
=.
=(267,97 − 267,86) EJz = 0,11
EJz ≈ 0 м.
Погрешность равна 267,860,11 100%≈ 0,04%< 5%.
Таким образом, погрешность деформационной проверки не превышает допустимой.
По результатам статической и деформационной проверок делаем вывод, что эпюры внутренних силовых факторов построены верно.
9. Подбираем параметры поперечных сечений.
Из анализа эпюр (рис. 3.8) определяем максимальные величины внутренних силовых факторов.
Участок |
AB: |
|
|
Mz |
|
|
|
max =13,81 кН×м, |
|
N |
|
max = 18,69 кН . |
|
|
|
|
|||||||||
Участок |
BC: |
|
|
Mz |
|
max = 46,19 кН×м в сечении B; N = 0. |
||||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
Qy max = 24,94 кН в сечении D.
Из условия прочности по максимальным нормальным напряжениям от изгиба определяем требуемый момент сопротивления поперечного сечения.
Wт ³ |
|
Mz |
|
|
max |
= |
46,19×103 |
= 288,68×10−6 |
м3 = 288,68 см3. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
z |
|
|
s |
|
|
|
|
160×106 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Из таблицы ГОСТ 8239-56 (см. приложение) выбираем двутавр №24 с |
||||||||||||||||||
параметрами: |
|
W |
= 289 см3, |
F = 34,8 см2, |
S отс |
=163 см2, |
J |
z |
= 3460 см4 |
, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
z max |
|
|
|
|
s = 5,6 мм.
Проверим прочность подобранного сечения по нормальным напряжениям.
На участке AB:
smax = |
|
|
N |
|
max |
+ |
|
|
Mz |
|
max |
= |
18,69×103 |
+ |
13,81×103 |
= (5,37 + 47,79)×106 |
= |
||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
34,8×10−4 |
289×10−6 |
|||||||||||
|
|
|
F |
|
Wz |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
= 56,16 МПа < |
|
s |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
На участке BC заведомо |
smax < |
|
s |
|
, |
так как здесь N = 0, а W > Wт . |
|||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|

125
Проверим прочность по касательным напряжениям.
|
|
Qy |
|
max |
Szотсmax |
|
24,94×103 ×163×10−6 |
= 20,95 МПа < |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
tmax = |
|
|
= |
|
t |
. |
||||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
Jz s |
3460×10−8 ×5,6×10−3 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, двутавр №24 удовлетворяет условиям прочности. Момент сопротивления квадратного сечения записывается с помощью
формулы для прямоугольного сечения
Wz = b63 .
Используя требуемый момент сопротивления данной задачи, найдем соответствующий ему размер стороны квадратного сечения
b ³ 36 × 288,89 =12,0123см .
Примем h =12см. Проверим прочность стержня, нагруженного максимальным
моментом, для этого размера поперечного сечения |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
s |
x |
|
max |
= |
|
|
N (x) |
|
|
+ |
|
M z (x) |
|
max |
= 0 + |
6 × 46,19 кН × м |
=160, 38 МПа |
>160МПа. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
Wz |
|
|
|
|
123 см3 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Перегруз сечения (погрешность) δ составляет меньше допустимых 3 % : |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
d = |
|
|
sx |
|
|
max - [s] |
×100 % = |
160, 38 -160 |
×100 % = 0,238 % < 3 % . |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[s] |
|
160 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Проверим прочность сечений на стержне AB, которые также могут быть |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
нагружены опасными напряжениями: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
s |
|
max |
= |
|
|
|
N |
|
|
max |
+ |
|
M z |
|
max |
= |
|
18,69 кН |
|
+ |
6 ×13,81кН × м |
= (1,30 + 47,95) МПа = |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 ×12 см2 |
123см3 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
Wz |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 49,25 МПа < [σ] ,
так что нормальные напряжения во всей раме для прочности не опасны. Проверяем прочность по касательным напряжениям:
t |
|
max |
=1,5 |
|
t |
|
сред |
= |
3 |
|
Qy (x) |
max |
=1,5 |
24,94 кН |
= 2,60 МПа < [t] . |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
2 |
|
b2 |
|
144 см2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Все условия прочности для квадратного сечения 12×12см выполняются, такое сечение тоже можно использовать.

126
3.4.Пример расчета статически неопределимой рамы методом сил
спомощью системы компьютерной алгебры Maxima
Запускаем wxMaxima и вводим первый оператор
В первой строке виден оператор kill(all); который он делает недоступными результаты предыдущей работы – уничтожает все переменные. Это сделано для удобства возможных перевычислений, в случае исправления ошибки. Вводим требуемые величины: интенсивность распределенной нагрузки, длины участков, момент. В качестве символа присваивания используется : . В качестве разделителя выражений используется ;
Выбираем основную систему. Сначала определяем реакции (см. рис. 3.5), для этого запишем уравнения статики:
Определяем настройки для решения систем уравнений:
Решая систему уравнений, находим реакции:

127
Проверяем найденные реакции, вычисляя суммарный момент в точке D:
Определяем функции – выражения изгибающих моментов по участкам (рис. 3.5). Первый участок:
Второй участок:
Третий участок:
Четвертый участок:
По этим выражениям строится эпюра изгибающих моментов от внешних сил. Прикладываем к основной системе единичную обобщенную силу X1 (рис. 3.6):
Ищем реакции (рис. 3.6), для чего записываем уравнения равновесия:

128
Решая систему уравнений, находим реакции:
Проверяем найденные реакции, для чего записываем сумму моментов в точке С:
Рассматриваем каждый участок рамы и записываем для них выражения изгибающих моментов.
Первый участок:
Второй участок:
Третий участок:
Четвертый участок:
Теперь прикладываем к основной системе единичную обобщенную силу
X 2 (рис. 3.7):

129
Ищем реакции (рис.3.7), для этого записываем уравнения равновесия:
Решая систему уравнений, находим реакции:
Проверяем найденные реакции, для этого записываем сумму моментов в точке С:
Рассматриваем каждый участок рамы и записываем для них выражения изгибающих моментов. Первый участок:
Второй участок:
Третий участок:

130
Четвертый участок:
После того как были получены все выражения для изгибающих моментов, можно искать коэффициенты системы канонических уравнений. Коэффициент
EJ z δ11 :
<пропущен промежуточный вывод Maxima>
Коэффициент EJ zδ22 :
<пропущен промежуточный вывод Maxima>
Коэффициент EJ zδ12 :
<пропущен промежуточный вывод Maxima>
Коэффициент EJ z 1 :
<пропущен промежуточный вывод Maxima>
Коэффициент EJ z 2 :