Расчет стержней и стержневых систем

112

Как видно из формул (3.4) и (3.5), δi j = δ ji . Кроме того, главные коэффициенты δii всегда отличны от нуля и положительны, а побочные коэффициенты δi j и свободные члены iP могут быть положительными, отрица-

тельными или равными нулю.

После того, как из системы канонических уравнений (3.3) найдены неизвестные усилия Xi (i = 1,2,...,S), определение итоговых значений внутренних силовых факторов в произвольном сечении стержневой системы осуществляется известными методами расчета статически определимых систем. Для этого в эквивалентной системе ранее неизвестные усилия Xi заменяются их найденными значениями, вычисляются при необходимости неизвестные опорные реакции и далее обычным образом записываются аналитические выражения для внутренних силовых факторов и строятся их эпюры.

Очевидно, что значения внутренних силовых факторов, а также напряжения и перемещения в статически неопределимой системе не зависят от того, какую основную систему использовать при расчете. Однако рациональный выбор основной системы может существенно снизить трудоемкость расчета.

Кратко остановимся на использовании свойств симметрии плоской стержневой системы. Как известно, в симметричной стержневой системе на оси симметрии при симметричной нагрузке обращаются в нуль кососимметричные внутренние силовые факторы (поперечная сила Qy ), а при кососимметричной нагрузке – симметричные внутренние силовые факторы (осевая сила N и изгибающий момент Mz ). Данное обстоятельство при расчете статически неопределимых систем позволяет, выбрав основную систему путем разреза по оси симметрии, сразу исключить из числа искомых неизвестных соответствующие нулевые обобщенные усилия. Кроме того, отметим, что любая нагрузка в симметричной системе может быть представлена в виде суммы симметричной и кососимметричной составляющих. На рис. 3.3 показан пример симметричной трижды статически неопределимой рамы под сосредоточенной нагрузкой общего вида и эквивалентные ей системы, соответствующие симметричной и кососимметричной составляющим приложенной нагрузки.

Рис. 3.3

113

Проверка правильности построенных итоговых эпюр внутренних силовых факторов в статически неопределимой системе включает в себя статическую и деформационную (кинематическую) проверки.

Статическая проверка – проверка условий равновесия как всей системы в целом, так и любой ее части. Частным случаем этой проверки является проверка равновесия узлов. Статическая проверка является необходимым, но не достаточным условием того, что построенные эпюры правильны.

Деформационная (кинематическая) проверка – проверка соблюдения ус-

ловий совместности деформаций. С этой целью выбирают новую основную систему, отбрасывая те дополнительные связи, которые не отбрасывались ранее. Затем для полученной основной системы, используя построенные итоговые эпюры, определяют перемещения в направлении отброшенных связей. Эти перемещения должны быть равны нулю. Другими словами, деформационная проверка итоговых эпюр состоит в том, что выясняется, равны ли нулю обобщенные перемещения в направлении связей, наложенных на систему.

Условия прочности по нормальным и касательным напряжениям для стержней плоской рамы имеют вид:

Здесь Mz , N и Qy – изгибающий момент, осевая и поперечная силы в рассматриваемом сечении рамы; F, Wz , Jz – площадь, момент сопротивления и момент инерции поперечного сечения; Szотсmax, b – максимальный статический момент

площади отсеченной части относительно оси z сечения и ширина сечения на уровне той точки, где определяется касательное напряжение; σ, τ – допус-

каемые нормальные и касательные напряжения. Отметим, что формула (3.6) справедлива для случая, когда ось z является осью симметрии поперечного сечения и материал стержней одинаково сопротивляется растяжению и сжатию.

В проектировочном расчете подбор параметров поперечного сечения рамы осуществляют следующим образом:

–задаются формой поперечного сечения;

–из формулы (3.6), учитывая лишь нормальные напряжения от изгиба (именно они являются в рамах преобладающими), определяют требуемый момент сопротивления:

– по величине Wzт подбирают необходимые размеры поперечного сечения и по формулам (3.6) и (3.7) проводят проверку прочности подобранного сечения. При использовании стандартных профилей обычно допускается превышение максимальных нормальных напряжений над допускаемыми (перенапряжение) около 5%.

σ max[ −][σ ]100% ≤ 5%

σ

3.2. Порядок проектировочного расчета статически неопределимых плоских рам методом сил

1.Определить по формуле (3.1) степень статической неопределимости S исходной системы.

2.Выбрать основную систему, отбросив S дополнительных связей и нагрузку; сформировать эквивалентную систему, приложив к выбранной основной системе заданную нагрузку и неизвестные обобщенные усилия, учитывающие действие отброшенных связей.

3.Записать канонические уравнения метода сил (3.3).

4.Записать аналитические выражения и построить эпюры изгибающих моментов в основной системе от следующих нагрузок:

а) от внешней нагрузки (эпюра MzP );

б) отдельно от каждого единичного обобщенного усилия Xi = 1, приложенного в направлении отброшенной связи (эпюры Mzi ).

5. Вычислить, используя формулы Мора (3.4) и (3.5), коэффициенты δi j и свободные члены iP канонических уравнений (3.3).

6.Определить из решения системы канонических уравнений (3.3) неизвестные обобщенные усилия Xi .

7.Построить для эквивалентной системы с учетом найденных обоб-

щенных усилий Xi итоговые эпюры внутренних силовых факторов (изгибающих моментов Mz , осевых N и поперечных Qy сил).

8.Провести статическую и деформационную проверку правильности построенных итоговых эпюр внутренних силовых факторов.

9.Из условия прочности по нормальным напряжениям от изгиба (формула (3.8)) подобрать размеры поперечного сечения и сделать проверку по максимальным нормальным и касательным напряжениям (формулы (3.6) и (3.7)).

Желающие более детально ознакомиться с теорией и практикой расчета статически неопределимых рам могут обратиться к известной литерату-

ре [1 - 5].

117

Эпюра MzP показана на рис. 3.5, б. От усилия X1 = 1 (рис. 3.6, а).

Определяем из уравнений равновесия опорные реакции.

åx = HA = 0; Þ HA = 0.

åy = RA + X1 = 0; Þ RA = - X1 = -1.

åmA = - M A + X1l = 0; Þ M A = X1l = 3 м.

Проверка: åmС = 0; - M A - RAl + HAl = -3- (-1)×3+ 0×3 = 0.

Записываем по участкам аналитические выражения для изгибающих моментов, вычисляем их значения в характерных точках и строим эпюру Mz1.

Эпюра Mz1 показана на рис. 3.6, б.

От усилия X2 = 1 (рис. 3.7, а).

Определяем из уравнений равновесия опорные реакции.

åx = HA = 0; Þ HA = 0.

åy = RA + X2 = 0; Þ RA = - X2 = -1.

åmA = -M A + X 2 (l + l1) = 0;Þ M A = X 2 (l + l1) = 5 кН × м .

Проверка: åmС = 0; - M A - RAl + HAl + X2l1 =

=-5- (-1)×3+ 0×3+1×2 = 0.

Записываем по участкам аналитические выражения для изгибающих моментов, вычисляем их значения в характерных точках и строим эпюру Mz2 .

Участок DC (0 £ x1 £ l1 = 2 м): Mz2 (x1) = X2 x1 = x1;

M z2 (x1 = 0) = 0; M z2 (x1 = l1) = 2 кН × м .