Расчет стержней и стержневых систем

103

и прогибов

Для построения этих эпюр нужны константы интегрирования. Определяем их из граничных условий. Первое граничное условие: на первой опоре ( x = l1) прогиб равен нулю.

Второе граничное условие: на второй опоре ( x = l1 + l2 ) прогиб равен ну-

лю.

Решаем вместе эти два уравнения, v1 и v2, получаем искомые константы, v0 и

θ0 .

104

Строим эпюру углов поворотов.

Строим эпюру прогибов. По ней видно, что прогибы в тех точках, где находятся опоры ( x = 2 м и x = 6 м ) равны нулю.

106

эпюр подсчитать соответствующие величины не менее чем в семи сечениях по длине балки и результаты представить в виде таблицы.

Таблица для выбора исходных данных

108

3. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СТЕРЖНЕВЫХ КОНСТРУКЦИЙ

3.1. Статически неопределимые плоские рамы

Рама является частным случаем стержневой конструкции (стержневой системы), в которой стержни (прямолинейные и криволинейные) жестко соединены между собой и работают преимущественно на изгиб и кручение. Другим частным случаем стержневой системы является ферма, которая, в отличие от рамы, состоит из прямолинейных стержней, соединенных между собой шарнирно и работающих на растяжение-сжатие. Нагрузка в фермах прикладывается в узлах соединения стержней. Имеются также стержневые системы и комбинированного типа, в которых часть элементов представляет раму, другая часть – ферму.

Стержневая система, в которой реакции опор и внутренние силовые факторы (внутренние усилия и моменты) можно определить, используя только лишь уравнения равновесия (уравнения статики), называются ста- тически определимыми. В противном случае стержневая система называется

статически неопределимой.

Разность между числом искомых неизвестных усилий, моментов и числом независимых уравнений равновесия определяет степень статической неопределимости. В частном случае плоской стержневой системы (когда все стержни и действующие нагрузки располагаются в одной плоскости) имеем три независимых уравнения статики.

Степень статической неопределимости всегда равна количеству до-

полнительных (лишних, избыточных) связей, после удаления которых система превратилась бы в статически определимую, оставаясь при этом геометрически неизменяемой и сохраняющей равновесие под действием приложенной нагрузки. Геометрически неизменяемой называется система, перемещения точек которой возможны лишь вследствие деформации системы.

Дополнительными могут быть как внешние (опорные) связи, накладывающие ограничения на перемещения конструкции как единого целого, так и внутренние (взаимные), накладывающие определенные ограничения на перемещения отдельных сечений стержневой системы друг относительно друга. В связи с этим различают внешне и внутренне статически неопределимые системы.

В общем случае плоской стержневой системы степень статической неопределимости (количество дополнительных связей) S можно определить по формуле:

109

где K – число независимых замкнутых контуров; Ш – приведенное число внутренних простых шарниров; R – число опорных связей.

Число независимых замкнутых контуров K равно количеству разрезов, которые необходимо сделать, чтобы стержневую систему превратить в незамкнутую одноконтурную, не допуская при этом разделения системы на отдельные части. Шарнир называется простым, если он соединяет лишь два стержня. Шарнир, соединяющий n (n>2) стержней называется сложным. Такой шарнир эквивалентен (n-1) простому шарниру.

Как видно из формулы (3.1), разрез замкнутого контура снижает степень статической неопределимости на три единицы, а простой внутренний шарнир – на единицу.

На рис. 3.1 показаны примеры статически неопределимых стержневых систем: на рис. 3.1, а – дважды внешне статически неопределимая; на рис. 3.1, б – один раз внутренне статически неопределимая; на рис. 3.1, в – четыре раза статически неопределимая (один раз – внешне и три раза – внутренне).

Рис. 3.1

Основная система – это статически определимая система, полученная из исходной статически неопределимой путем отбрасывания дополнительных связей и внешней нагрузки. В качестве дополнительных могут быть выбраны различные связи, поэтому для одной и той же статически неопределимой системы можно получить множество основных систем.

Эквивалентная система – это основная система, к которой приложена заданная внешняя нагрузка исходной системы, а также усилия и моменты (обобщенные усилия), учитывающие действие отброшенных связей. Отметим, что усилия, вводимые взамен внутренних связей, всегда являются взаимными, т. е. если в каком-либо сечении удалена внутренняя связь, то к каждой части системы в этом сечении прикладываются равные и противоположные друг другу обобщенные усилия.

Часто одну и ту же стержневую систему можно рассматривать как внешне статически неопределимую, если удалять опорные связи, или как внутренне статически неопределимую, если удалять внутренние связи. В качестве примера на рис. 3.2 показаны один раз статически неопределимая

110

рама (слева) и соответствующие ей две эквивалентные стержневые системы, полученные удалением внешней связи и внутренней связи. Здесь через X1 обозначены обобщенные усилия, учитывающие действие отброшенных связей.

X1

X1

X1

Рис. 3.2

Наиболее распространенным методом раскрытия статической неопределимости является метод сил. Кроме этого существует также метод перемещений и смешанный метод.

Суть метода сил заключается в том, что заданная статически неопределимая система освобождается от дополнительных связей, взамен которых вводятся неизвестные обобщенные усилия Xi (i = 1,2,...,S). Величины этих усилий определяются из условий, чтобы перемещения в направлении отброшенных связей соответствовали тем ограничениям, которые эти связи накладывают. Для этой цели в дополнение к уравнениям равновесия привлекаются уравнения совместности деформаций.

В методе сил уравнения совместности деформаций представляют собой для эквивалентной системы условия равенства нулю перемещения или поворота (обобщенного перемещения) в направлении каждой отброшенной связи. Эти условия записываются в виде:

где i – обобщенное перемещение в направлении i-й отброшенной связи. Причем, если отброшена внешняя связь, то имеется в виду абсолютное перемещение, а если внутренняя, то - относительное перемещение двух смежных сечений эквивалентной системы.

Согласно принципу независимости действия сил (принципу суперпозиции) перемещение от одновременного действия группы нагрузок равно сумме перемещений от каждой из этих нагрузок в отдельности. Поэтому равенства (3.2) можно представить так:

связи от усилия X j и от внешней нагрузки.