Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский национальный исследовательский технический университет им. А. Н. Туполева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Расчет стержней и стержневых систем

.pdf

Скачиваний:

806

Добавлен:

12.03.2015

Размер:

3.89 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2010 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

	+q × [x3 - (l1 + l2 )]4		- RB × [x3 - (l1 + l2 )]3		+ Сx3 + D =
		24		6
= -2,5x3	-1,25x4	+ 25(x - 2)2	+19,79(x	- 2)3 +1,25(x - 2)4		+1,25(x	3	- 6)4	-
3	3	3	3		3		3

-22,29(x3 - 6)3 + Сx3 + D.

3. Вычисление постоянных интегрирования C и D. Для вычисления посто-

янных интегрирования воспользуемся граничными условиями, а именно, условиями равенства нулю прогибов балки на опорах. Тогда можно записать

(рис. 2.18):

при x1 = l1, v1 = 0

или

-2,5x13 - 1,25x14 + Сx1 + D = 0 ;

при x2 = l1 + l2, v2 = 0

или

− 2,5x23 −1,25x24 +19,79(x2 − 2)3 +1,25(x2 − 2)4 + 25(x2 − 2)2 + Cx2 + D = 0 .

Подставляя в приведенные тождества соответствующие значения величин x и v, получим следующую систему алгебраических уравнений:

ì2C + D = 40; íî6C + D =173,44,

из которой находим: С = 33,36 кН×м2 , а D = -26,72 кН×м3.

Значения величин Mz , Qy, EIzθ, EIzv для отдельных сечений приво-

дятся в табл.2.2. Эпюры для этих величин представлены на рис. 2.18. Таблица 2.2

Номер		1				2					3
участка

x, м	0	1	2	2	3	4	5	6	6	7	8	9
Qy, кН	-15	-45	-75	43,75	43,75	43,75	43,75	43,75	-90	-60	-30	0
Mz ,	0	-30	-90	-40	3,75	47,5	91,25	135	135	60	15	0
кНм

EIzθ,	33,4	20,9	-36,6	-36,4	-54,8	-29,1	40,2	153,4	153,4	245,4	283,4	288,4
кНм2

EIzv,	-26,4	2,89	0	0	-49,4	-98,0	-93,1	0	0	207,02	476,48	763,41
кН×м3

4. Подбор двутавра. Максимальные значения изгибающего момента и перерезывающей силы (рис. 2.18):

M z max = 135 кН×м; Qy max = 90 кН.

Требуемый момент сопротивления определим из неравенства


Wz ³	M z	max	=		135×105 Н × см		= 844 см	3	.

	[s]			160 ×Н (10-2		см2 )

По моменту сопротивления подбираем двутавр №40 (см. приложение): h = 40 см ; b = 15,5 см ; s = 0,80 см ; t = 1,3 см ; Iz = 18930 см4;

Fдв = 72,6 см2 ; Wz = 953см4;Szотсmax = 545см3 .

Материал - сталь Е = 2×105 МПа.

5. Проверка сечения по нормальным напряжениям.

smax =

M z

max

135 ×103 Н ×103 мм

=141,65 МПа <160 МПа .

953 ×103 мм3

6. Проверка сечения по касательным напряжениям.

τmax =

Qy max

S отс

90×103 ×545×10−6

z max

= 32,38 МПа < 100МПа.

Iz b

0,8×10−2 ×18930×10−8

7. Построение эпюр распределения касательных и нормальных напря-

жений для двутаврового сечения. Построим распределение нормальных и касательных напряжений для сечения балки в точке М. В этом сечении MzB = 135кНм, QyB = 90 кН. Подсчитаем нормальные напряжения в наружных слоях балки:

σx =	MzB	× y	=	135×103 ×20×10−2	= 142,6 МПа.
	Iz			18930×10−8

По результатам расчета строим эпюру нормальных напряжений (рис. 2.19). Построим эпюру касательных напряжений по сечению балки, восполь-

зовавшись формулой:

τxy = - Qy Szотс .

Iz b

Вычислим касательные напряжения в сечениях двутавра (рис. 2.19):

Эп.σx МПа

142,6

Эп. τ xy МПа

III

1,19

23,17

29,1

h=400

100

32,38

29,1

1,19

23,17

142,6

155

отсI = 0, tI

Рис. 2.19

Сечение I-I:

= 0.

Сечение II-II: Szотс II

= b × t × (h 2 - t 2)=15,5 ×1,3× (40 2 -1,3 2)= 389,9 ×10−6 м3 ;

txyII =

90×103 ×389,9 ×10−6

= 1196,26×103 Па = 1,196 МПа.

1,893×10−4 ×15,5×10−2

Сечение III-III:

SотсII = SотсIII = 389,9 ×10−6

м3;

txyIII

90×103 × 389,9 ×10−6

= 23170×103 Па = 23,17

МПа.

1,893×10−4 ×0,8×10−2

Сечение IV-IV:

- t -10 ÷

Szотс IV = Szотс III

+ s × (h 2 - t -10)× ç10 +

÷ = 489,79 ×10−6

м3 ;

txyIV

90×103 × 489,79 ×10−6

1,893×10−4 ×0,8×10−2 = 29100×103 Па = 29,1 МПа.

Сечение V-V: SотсV

= Sотс

= 545×10−6 м3;

τV = τmax = 32,38 МПа.

z max

На основании вычислений строим эпюру распределения касательных напряжений по поперечному сечению (рис. 2.19).

8. Проверка жесткости балки. Условие жесткости балки в пролете оп-

ределяется соотношением:

vmaxпрол £ [v]прол = lпрол

= 1,33×10−2 м.

300

Для вычисления vmaxпрол необходимо сначала определить координату x

точки, в которой прогиб балки будет максимален. Из анализа эпюр рис. 2.18

видно, что прогиб достигает своей максимальной величины на втором участ-

ке в точке,

где эпюра EIzθ пересекает ось OX. Тогда из уравнения

EIzθ = −7,5x22 − 5x23 + 59,375(x2 − 2)2 + 5(x2 − 2)3 + 50(x2 − 2) + 33,36 = 0

находим эту координату x2 = 4,5 м. Подставляя это значение в соответствую-

щее уравнение

EIzv2 = -2,5× 4,53 - 1,25× 4,54 + 19,79(4,5 - 2)3 + 1,25(4,5 - 2)4 + 25(4,5 - 2)2 +

+33,36×4,5- 26,72 = 102,693 кНм3,

определим величину максимального прогиба

vmaxпрол =

( x

= 4,5)

102,693×103

= 0,27×10−2 м < 1,33×10

−2 м.

2×1011 ×18930×10−8

EIz

Для консольной части балки

vmaxконс

£[v]конс = lконс =

= 2×10−2 м,

EIzv1 ( x3

= 9)

150

vmaxконс

763,41×103

= 2,016×10−2 м > 2×10−2

м.

EIz

2×1011 ×18930×

10−8

Нарушение условий жесткости менее чем на 3 % , поэтому допустимо

оставить двутавр №40. Отметим, что консоль балки слева заведомо удовле-

творяет условию жесткости.

8. Подбор прямоугольного

сечения. Необходимо по-

добрать прямоугольное сечение (рис. 2.20) для работы на по-

перечный изгиб относительно оси z.

Требуемый момент сопротивления для данной балки

был определен при подборе двутавра Wz ³ 844 см3 . Момент

сопротивления прямоугольного сечения выражается фор-

Рис. 2.20

мулой

bh2

Из одного условия невозможно подобрать два параметра: b и h. Привлечение

условия прочности по касательным напряжениям в качестве второго условия не дает удовлетворительных результатов. Сечение получается слишком узким и высоким и не может нести нагрузку из-за потери устойчивости сжатых продольных «волокон». Поэтому в задаче задается отношение сторон

прямоугольника

h b = k1 = 2 .

Тогда можно получить условие для подбора

одного из размеров сечения

³ 844 см3 ,

откуда

h ³ 3 6k

×844 см3

, h ³ 21,6359см .

На основании этого можно принять h = 22 см, тогда b = h 2 =11 см .

Проверим прочность сечения с выбранными размерами по нормальным

напряжениям

M z (x)

max

6 ×135 кН × м

=152 МПа < [s],

max

× 222 см3

а затем по касательным напряжениям

=1,5 t

= 3

Qy (x)

max

=1,5

90 кН

= 5,58 МПа < [t] .

max

сред

11× 22 см2

Условия прочности для выбранных размеров прямоугольного сечения

выполняются, такое сечение можно использовать.

Площадь прямоугольного сечения F

= bh = 242 см2 .

пр

9. Подбор полого прямоугольного сечения. Необхо-

димо подобрать сечение, форма которого показана на

рис. 2.21. Задано отношение сторон

H = h = k = 2;

h = k

= 0,8 .

Момент инерции такого сечения относительно оси z

можно записать так

Рис. 2.21

I z

- bh

Момент сопротивления выразится формулой

(1- k 4 )

ç1- b h

H 2

при этом следует иметь в виду, что

bh2

Поскольку для данной балки Wz ³ 844 см3 (найдено из условия прочности

по нормальным напряжениям), то для подбора H получаем неравенство

H 3

(1- k24 )³ 844 см3 ,

6k1

откуда

6k ×844 см3

6× 2×844 см3

H ³ 3

=25,79 см

- k24

1- 0,84

Примем

H = 26 см ,

тогда

B = H k1 =13 см ,

h = k2 H = 20,8 см ,

b = hk1 = 10,4 см .

Проверим прочность выбранного сечения по нормальным напряжениям

I z =

BH 3

- bh3

= 13× 263 -

10,4 × 20,83

=11242см4 .

Wz =

11242

= 864,8 см3 ,

H 2

max

M z (x)

max

135 кН × м

=156 МПа <[s].

864,8 см3

Убеждаемся, что условие прочности по нормальным на-

пряжениям выполняется.

max

Площадь

полого

прямоугольного

сечения

F = BH - bh =13× 26 -10,4 × 20,8 =122 см2 .

пп

10. Подбор

квадратного сечения, изгибаемого

относительно оси, проходящей через диагональ. Сече-

Рис. 2.22

ние, которое необходимо подобрать, представлено на

рис. 2.22.

Его момент сопротивления запишем по опре-

делению

Wz =

max

Максимальная координата точки сечения легко может быть найдена по теореме Пифагора

y max = 0,5b2 + b2 = 2b2 .

Момент инерции квадратного сечения, как показывается в курсе сопротивления материалов, одинаков для всех осей, проходящих через центр тяжести. Записывается момент инерции квадрата с помощью формулы для прямоугольника, так что

Iz = b412 .

Момент сопротивления данного сечения, таким образом, выражается формулой:

Wz =

Можно заметить, что момент сопротивления относительно рассматривае-

мой оси оказывается меньше,

чем для оси z

(рис. 2.22): W

= b3 6 , поэтому

балка, изгибаемая относительно оси

выдержит нагрузку меньше, чем изги-

баемая относительно оси z1 .

Wz ³ 844 см3 , получаем

Поскольку для

данной балки

неравенство для

подбора стороны квадрата

=19,3 см .

b ³ 3 6

×844 см3

Примем размер сечения b =19,5 см. Проверим прочность выбранного се-

чения

M z (x)

M z

(x)

×135 кН × м

max

=154 МПа < [s] ,

19,53

см3

видно, что условие прочности выполняется. Сечение подобрано.

Площадь квадратного сечения F

= b2 = 380 см2 .

кв

11. Сравнение по весу вариантов конструкции данной балки с различными сечениями. Веса вариантов конструкции относятся как площади поперечных сечений, поскольку материал, а следовательно, и удельный вес всех балок ρ одинаков, одинакова и длина l = l1 + l2 + l3 , т.е.

P2 = ρlF2 = F2 . P1 rlF1 F1

Будем относить площади всех сечений к площади поперечного сечения двутавра.

F		122		Fпр		242		F		380
пп	=		=1,68;		=		= 3,33;	кв	=		= 5,23 .
		72,6		F		72,6		F		72,6
F
дв				дв				дв

Отношения размещены в порядке возрастания веса балок с выбранным поперечным сечением.

2.3.6.Пример расчета балки при плоском изгибе

спомощью системы компьютерной алгебры Maxima

Maxima – система для работы с символьными и численными выражениями. Maxima относится к классу свободного программного обеспечения и рас-

пространяется под лицензией GPL. (http://maxima.sourceforge.net/ru/).

Исходный код Maxima может компилироваться на многих системах,

включая Windows, Linux и MacOS X. Maxima – потомок Macsyma, легендарной системы компьютерной алгебры, разработанной в начале 60-х в MIT.

Наиболее удобной оболочкой для работы с Maxima является wxMaxima (в данном пособии рассматривается версия >0.8). Запускаем wxMaxima и вводим первый оператор

В первой строке вы видите оператор kill(all), который делает недоступными результаты предыдущей работы – уничтожает все переменные. Это сделано для удобства возможных перевычислений, в случае исправления ошибки часто бывает проще перевычислить всю сессию.

После ввода строки для вычисления выражения нужно выполнить <Прав-

ка> <Cell> <Evaluate cell(s)> или нажать <Shift Enter>.

(%i1) и (%o0) – соответственно позиции ввода и позиции вывода. Вводим требуемые величины: момент, силу, интенсивность распределенной нагрузки, длины участков. В качестве символа присваивания используется : , в качестве разделителя выражений используется ;

Чтобы было проще ориентироваться в сессии, добавляем комментарий <Cell> <Insert Text Cell> (или F6) и записываем далее (%i7) сумму всех моментов (см. рис. 2.4) в точке А (sum_M[a]), получаем

Записываем аналогичное условие (см. рис. 2.4) в точке B (sum_M[b]).

Для нахождения реакций используем глобальные настройки:

Определяем Rb

Определяем Ra .

Проверяем найденные реакции, для этого вычисляем сумму всех сил в проекции на вертикальную ось:

Начинаем рассмотрение участков балки (см. рис. 2.18). Запишем для удобства комментарий и введем найденное выражение для перерезывающей силы, обозначаем ее Qy1, это функция, для ее определения используется символ присваивания :=

Теперь вводим функции для изгибающего момента Mz1, угла поворота theta1, прогиба v1 (рис. 2.18). Не забываем при этом про требования метода начальных параметров (метода Клебша). Для упрощения выражения можно использовать функцию expand.

100

Аналогично рассматриваем второй участок (рис. 2.18):

Аналогично рассматриваем третий участок (рис. 2.18):

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2010 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.03.20151.18 Mб45расч_УМ_2013 Изменён Вставка 10_10_13.doc
#
12.03.2015642.73 Кб48Расчёт гидравлической системы.docx
#
01.05.2025380.51 Кб0Расчёт защит заземл Методичка.docx
#
12.03.2015431.1 Кб219Расчёт несущей перемычки 3 ПБ16.doc
#
12.03.20151.23 Mб71Расчет режимов резания.doc
#
12.03.20153.89 Mб806Расчет стержней и стержневых систем.pdf
#
18.12.2018958.98 Кб9РАСЧЕТ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ СИНУСОИДАЛЬНОГО.DOC
#
12.03.20153.26 Mб105Расчет_РРЛ_2.pdf
#
12.03.201520 Mб20Расчетно-графическая работа по ИВТ.doc
#
16.11.2018413.18 Кб8Расчетно-графическая работа № 1_Осень.doc
#
12.03.2015599.19 Кб135Расчетное задание по экологии для заочников.docx