Игнатьев_Майорова_МА_1часть

4.5.5. tRIGONOMETRI^ESKIE PODSTANOWKI

dLQ PODINTEGRALXNYH WYRAVENIJ, SODERVA]IH RADIKALY pa2 ¡ x2; px2 + a2; px2 ¡ a2

(A TAKVE KWADRATY \TIH RADIKALOW a2 ¡ x2, x2 ¨ a2), ^ASTO UDOBNY SLEDU@]IE PODSTANOWKI:

pRIMER 1. wY^ISLITX INTEGRAL: Z pa2 ¡ x2 dx.

pOLAGAQ x = a sin t, POLU^AEM:

p

dx = a cos t dt:

wOZWRA]AQSX K PEREMENNOJ x, NAHODIM:

pOLAGAQ x = a tg t, POLU^AEM:

101

wOZWRA]AQSX K PEREMENNOJ x, NAHODIM:

sLEDOWATELXNO,

Zxpxdx2 ¡ a2 = a1 Z dt = a1t + C = a1 arccos xa + C:

4.5.6.zADANIQ DLQ PRAKTI^ESKIH ZANQTIJ

cELX PRAKTI^ESKIH ZANQTIJ | OTRABOTKA NAWYKOW WY^ISLENIQ INTEGRALOW.

102

4.6.wOPROSY DLQ SAMOKONTROLQ

1.~TO NAZYWAETSQ PERWOOBRAZNOJ FUNKCII, NEOPREDELENNYM INTEGRALOM FUNKCII?

2.pERE^ISLITX OSNOWNYE SWOJSTWA NEOPREDELENNOGO INTEGRALA I INTEGRALY OT OSNOWNYH \LEMENTARNYH FUNKCIJ.

3.pERE^ISLITX OSNOWNYE METODY INTEGRIROWANIQ. w ^EM SUTX KAVDOGO METODA?

4.kAKAQ DROBNO-RACIONALXNAQ FUNKCIQ NAZYWAETSQ PRAWILXNOJ, A KAKAQ NEPRAWILXNOJ? oB_QSNITE METOD DELENIQ MNOGO^LENA NA MNOGO^LEN STOLBIKOM.

5.w ^EM SOSTOIT METOD INTEGRIROWANIQ RACIONALXNYH FUNKCIJ?

6.pERE^ISLITX ZAMENY PEREMENNYH, KOTORYE ISPOLXZU@TSQ ^A]E WSEGO PRI INTEGRIROWANII TRIGONOMETRI^ESKIH WYRAVENIJ. kAKIE IZ NIH NAIBOLEE \FFEKTIWNY I W KAKIH SLU^AQH?

7.pERE^ISLITX ZAMENY I USLOWIQ ISPOLXZOWANIQ ZAMEN PEREMENNYH, PRIMENQEMYH PRI WY^ISLENII INTEGRALOW, SODERVA]IH PROSTYE RADIKALY.

8.pERE^ISLITX TRIGONOMETRI^ESKIE ZAMENY PEREMENNYH I USLOWIQ IH ISPOLXZOWANIQ PRI WY^ISLENII INTEGRALOW, SODERVA]IH KWADRATI^NYE IRRACIONALXNOSTI.

4.7.kONTROLXNYE ZADANIQ

103

104

spisok literatury

1.bERMAN g.n. sBORNIK ZADA^ PO MATEMATI^ESKOMU ANALIZU. m.:nAUKA, 1972. 416 S.

2.zADA^I I UPRAVNENIQ PO MATEMATI^ESKOMU ANALIZU/pOD RED. b.p. dEMIDOWI^A. m.:nAUKA, 1970. 472 S.

3.iGNATXEW w.n., hAJRULLINA a.m. mATEMATI^ESKIJ ANALIZ: u^EB. POSOBIE. iZD-WO kAZAN. GOS. TEHN. UN-TA,1998. 56 S.

4.iLXIN w. a., pOZDNQK |.g. oSNOWY MATEMATI^ESKOGO ANALIZA. m.:nA-

UKA, 1982. ~.1. 616 S.

5.kUDRQWCEW l.d. kURS MATEMATI^ESKOGO ANALIZA. m.: wYS[AQ [KOLA, 1973. t.1, 614 S.

6.kUZNECOW l. a. sBORNIK ZADANIJ PO WYS[EJ MATEMATIKE (TIPOWYE RAS^ETY). m.: wYS[AQ [KOLA, 1998. 175 S.

7.pISKUNOW n.s. dIFFERENCIALXNOE I INTEGRALXNOE IS^ISLENIQ. m.:nAUKA, 1978, t.1, 456 S.

8.sBORNIK ZADA^ PO MATEMATIKE DLQ wtuzOW (POD RED. a. w. eFIMOWA, b. p. dEMIDOWI^A). m.: nAUKA, 1986. t.1, 464 S.

9.{IPA^EW w. s. sBORNIK ZADA^ PO WYS[EJ MATEMATIKE: u^EB.POSOBIE. m.: wYS[. [KOLA,1994. 192 S.

10.{NEJDER w.e., sLUCKIJ a.i., {UMOW a.s. kRATKIJ KURS WYS[EJ MATEMATIKI. m.: wYS[AQ [KOLA, 1978, t.1, 384 S.

105

sODERVANIE

m o d u l x I. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1

1.~islowye posledowatelxnosti: : : : : : : : : : : : : : 1

1.1.~ISLOWYE POSLEDOWATELXNOSTI : : : : : : : : : : : : : : : : 1

1.1.1. oSNOWNYE OPREDELENIQ : : : : : : : : : : : : : : : : 1

1.1.2.zADANIQ DLQ PRAKTI^ESKIH ZANQTIJ : : : : : : : : : 2

1.2.sHODQ]IESQ POSLEDOWATELXNOSTI : : : : : : : : : : : : : : : 3

1.2.1.oPREDELENIE PREDELA POSLEDOWATELXNOSTI : : : : : 3

1.2.4.zADANIQ DLQ PRAKTI^ESKIH ZANQTIJ : : : : : : : : : 6

1.3.wOPROSY DLQ SAMOKONTROLQ : : : : : : : : : : : : : : : : : 8

1.4.kONTROLXNYE ZADANIQ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8

2.funkciq : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 11

2.1.oSNOWNYE PONQTIQ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 11

2.1.1.oPREDELENIE FUNKCII : : : : : : : : : : : : : : : : : 11

2.1.2.~ETNYE I NE^ETNYE FUNKCII : : : : : : : : : : : : : 11

2.1.3.pERIODI^ESKIE FUNKCII : : : : : : : : : : : : : : : 13

2.1.4.zADANIQ DLQ PRAKTI^ESKIH ZANQTIJ : : : : : : : : : 13

2.2.pREDEL FUNKCII. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 14

2.2.1. oPREDELENIE PREDELA FUNKCII I EGO MODIFIKACII 14

2.2.2.sWOJSTWA PREDELOW FUNKCIJ : : : : : : : : : : : : : 15

2.2.3.pERWYJ I WTOROJ ZAME^ATELXNYE PREDELY : : : : : 16

2.2.4.pRIMERY NA NAHOVDENIE PREDELOW FUNKCIJ : : : : 17

2.2.5.zADANIQ DLQ PRAKTI^ESKIH ZANQTIJ : : : : : : : : : 21

2.3.nEPRERYWNYE I BESKONE^NO MALYE FUNKCII : : : : : : : : 22

2.3.1.nEPRERYWNOSTX FUNKCII. kLASSIFIKACIQ TO^EK RAZRYWA : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 22

2.3.2.sRAWNENIE BESKONE^NO MALYH FUNKCIJ : : : : : : : 24

2.3.3.zADANIQ DLQ PRAKTI^ESKIH ZANQTIJ : : : : : : : : : 26

2.4.wOPROSY DLQ SAMOKONTROLQ : : : : : : : : : : : : : : : : : 27

2.5.kONTROLXNYE ZADANIQ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 28

106

mO D U L X II.: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 31

3.differencialxnoe is~islenie : : : : : : : : : : : : : 31

3.1.pONQTIE PROIZWODNOJ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 31

3.1.1.pROIZWODNYE \LEMENTARNYH FUNKCIJ : : : : : : : : 32

3.1.2. pRAWILA DIFFERENCIROWANIQ : : : : : : : : : : : : 33

3.1.3.zADANIQ DLQ PRAKTI^ESKIH ZANQTIJ : : : : : : : : : 34

3.1.4.pROIZWODNAQ SLOVNOJ FUNKCII : : : : : : : : : : : : 35

3.1.5.zADANIQ DLQ PRAKTI^ESKIH ZANQTIJ : : : : : : : : : 38

3.1.6.lOGARIFMI^ESKOE DIFFERENCIROWANIE : : : : : : : 39

3.1.7.dIFFERENCIROWANIE NEQWNO ZADANNYH FUNKCIJ : : 40

3.1.8.dIFFERENCIROWANIE FUNKCIJ, ZADANNYH PARAMET-

RI^ESKI : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 41

3.1.9.zADANIQ DLQ PRAKTI^ESKIH ZANQTIJ : : : : : : : : : 42

3.2.pONQTIE DIFFERENCIALA FUNKCII : : : : : : : : : : : : : : 42

3.2.1.oPREDELENIE DIFFERENCIALA : : : : : : : : : : : : : 43

3.2.2.sWOJSTWA DIFFERENCIALA : : : : : : : : : : : : : : : 43

3.2.3.zADANIQ DLQ PRAKTI^ESKIH ZANQTIJ : : : : : : : : : 44

3.3.pROIZWODNYE I DIFFERENCIALY WYS[IH PORQDKOW : : : : 45

3.3.1.pROIZWODNYE WYS[IH PORQDKOW : : : : : : : : : : : 46

3.3.2.dIFFERENCIALY WYS[IH PORQDKOW : : : : : : : : : 47

3.3.3.zADANIQ DLQ PRAKTI^ESKIH ZANQTIJ : : : : : : : : : 48

3.4. oSNOWNYE TEOREMY DIFFERENCIALXNOGO IS^ISLENIQ : : : 49

3.4.1.tEOREMY fERMA, rOLLQ, lAGRANVA, kO[I : : : : : 49

3.4.2.fORMULA tEJLORA : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 50

3.4.3.zADANIQ DLQ PRAKTI^ESKIH ZANQTIJ : : : : : : : : : 51

3.4.4.pRAWILO lOPITALQ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 52

3.4.5.zADANIQ DLQ PRAKTI^ESKIH ZANQTIJ : : : : : : : : : 55

3.5. iSSLEDOWANIE FUNKCIJ I POSTROENIE GRAFIKOW : : : : : : 55

3.5.1.pRIZNAK MONOTONNOSTI FUNKCII : : : : : : : : : : : 55

3.5.2.oTYSKANIE TO^EK LOKALXNOGO \KSTREMUMA FUNKCII 56

3.5.3.wYPUKLOSTX I TO^KI PEREGIBA GRAFIKA FUNKCII : 59

3.5.4.aSIMPTOTY GRAFIKA FUNKCII : : : : : : : : : : : : 61

3.5.5. sHEMA POSTROENIQ GRAFIKA FUNKCII : : : : : : : : 63

3.5.6.zADANIQ DLQ PRAKTI^ESKIH ZANQTIJ : : : : : : : : : 69

3.6.wOPROSY DLQ SAMOKONTROLQ : : : : : : : : : : : : : : : : : : 70

3.7.kONTROLXNYE ZADANIQ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 72

107

mo d u l x III.: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 76

4.integrirowanie: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 76

4.1.pERWOOBRAZNAQ I NEOPREDELENNYJ INTEGRAL : : : : : : : : 76

4.1.1.oSNOWNYE OPREDELENIQ : : : : : : : : : : : : : : : : 76

4.1.2.sWOJSTWA NEOPREDELENNOGO INTEGRALA : : : : : : : : 76

4.1.3.tABLICA OSNOWNYH INTEGRALOW : : : : : : : : : : : : 77

4.2.2.zADANIQ DLQ PRAKTI^ESKIH ZANQTIJ : : : : : : : : : 79

4.2.3.mETOD PODSTANOWKI : : : : : : : : : : : : : : : : : : 80

4.2.4.zADANIQ DLQ PRAKTI^ESKIH ZANQTIJ : : : : : : : : : 83

4.2.5.mETOD INTEGRIROWANIQ PO ^ASTQM : : : : : : : : : : 83

4.2.6.zADANIQ DLQ PRAKTI^ESKIH ZANQTIJ : : : : : : : : : 86

4.5.6.zADANIQ DLQ PRAKTI^ESKIH ZANQTIJ : : : : : : : : : 102

4.6.wOPROSY DLQ SAMOKONTROLQ : : : : : : : : : : : : : : : : : : 103

4.7.kONTROLXNYE ZADANIQ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 103

spisok literatury : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 105

108