Бесконечно малые функции иприназываютсяэквивалентными, и пишут ~, если.

Принцип замены эквивалентных бесконечно малых функций, состоит в том, что при вычислении предела частного или произведенияодну из функций (или обе) в этих выражениях можно заменить эквивалентной функцией. Так, если~,~при, то:

;

Тема 9. Непрерывность функции.

Если функция определена всюду в некоторой окрестности точки(левой полуокрестности, правой полуокрестности) и(,), то функцияназываетсянепрерывной в точке (непрерывной слева, непрерывной справа).

Каждая основная элементарная функция непрерывна в каждой внутренней точке своей области определения и непрерывна слева (справа) в крайней правой (крайней левой) точке области определения.

Если в точке , тоназываетсяточкой разрыва функции . При этом различают следующие случаи:

1) Если , тоназываетсяточкой устранимого разрыва функции .

2) Если в точке функцияимеет конечные односторонние пределыи, но они не равны друг другу, тоназываетсяточкой разрыва 1-ого рода.

3) В остальных случаях называетсяточкой разрыва 2-ого рода .

Функция называетсянепрерывной на отрезке , если она непрерывна в каждой его точке (в точке- непрерывна справа, в точке- непрерывна слева). Функциянепрерывная на отрезкеобладает свойствами:1) ограничена на ;2) достигает на отрезке своего наименьшего значенияи наибольшего значения;3) для любого числа , заключённого между числамии, всегда найдётся точкатакая, что;4) если , то всегда найдётся точкатакая, что.

Тема 10. Комплексные числа и многочлены.

Комплексным числом называется число вида , где,-действительные числа, символ- мнимая единица, для которой. Число- называется действительной частью комплексного числа, число- мнимой частью. Комплексное числосовпадает с действительным, а числоназывается чисто мнимым. Множество всех комплексных чисел обозначается.

Комплексное число изображается на плоскости с системой координат(называемой комплексной плоскостью) точкой, обозначаемой той же буквойи имеющей координаты. Действительные числа изображаются точками оси абсцисс, а чисто мнимые – оси ординат (поэтому осьназывается действительной осью, а ось- мнимой осью). Комплексное число на комплексной плоскости изображается также радиус-вектором точки. Длина радиус-вектора называетсямодулем комплексного числа: , а угол его с осьюназываетсяаргументом комплексного числа: ,. Аргумент комплексного числа вычисляют, как правило, по формуле:.

Комплексно-сопряжённым числу называется число.

Представление комплексного числа выражением называется алгебраической формой комплексного числа, а выражением -тригонометрической формой комплексного числа.

Арифметические действия (сложение, вычитание, умножение) над комплексными числами в алгебраической форме выполняют по правилам действий над многочленами, с учётом того, что :

;

.

Деление комплексных чисел выполняют следующим образом: .

Возведение комплексного числа в натуральную степеньвыполняют, используяформулу Муавра: .Полученный результат представляют затем в алгебраической форме.

Извлечение корня -ой степени из комплексного числа(не равного нулю) выполняют по формуле:

,

(здесь - действительное положительное число). Таким образом, корень степенииз комплексного числа имеетразличных значений, расположенных на комплексной плоскости на окружности радиуса.

Алгебраическим многочленом степени называется выражение вида:

,

где ,- некоторые числа (вообще говоря, комплексные), называемые коэффициентами многочлена, причём.

Алгебраическим уравнением степени называется уравнение вида Число, для которогоназываетсякорнем многочлена или уравнения.

Теорема Безу. Число является корнем многочленатогда и только тогда, когдаделится на, т.е. когдапредставляется в виде:, где- многочлен степени.

Число называетсякорнем кратности многочлена , если, где.

Для многочленов имеет место следующая теорема:

Теорема Гаусса (основная теорема алгебры). Всякий многочлен ненулевой степени имеет ровнокорней, если каждый корень считать ровно столько раз, какова его кратность .

Всякий многочлен с действительными коэффициентами всегда можно разложить в произведение линейных и квадратичных множителей с действительными коэффициентами.

Всякий квадратный многочлен с действительными коэффициентами на множестве комплексных чисел всегда можно разложить в произведение линейных множителей:, где корни многочленаинаходятся по формулам:

1) если , то- действительные;

2) если , то- комплексно-сопряжённые.

Для нахождения корней алгебраического уравнения с действительными коэффициентами поступают, как правило, следующим образом: находят один из корней подбором (например, корнем может быть целый делитель свободного слагаемого), а затем, последовательно применяя теорему Безу, сводят нахождение корней уравненияк нахождению корней линейных и квадратных уравнений.

6.3 Образец оформления обложки с контрольной работой.

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Камская государственная инженерно-экономическая академия»

кафедра высшей математики

Контрольная работа

по дисциплине «Высшая математика»

Вариант № ____

(номера выполняемых заданий: _________________________)

Выполнил: студент группы№_______

Ф.И.О. студента_________

зач. книжка-№ _________

Проверил:преподаватель кафедры ВМ

Ф.И.О. преподавателя_____

Набережные Челны

200…

Номер варианта соответствует номеру студента в списке группы.

С О Д Е Р Ж А Н И Е

1. Цели и задачи дисциплины, её место в учебном процессе……..3

2. Содержание и структура дисциплины……………….………......4

3. Рекомендуемая литература……………………….………..……..8

4. Методические указания по изучению дисциплины…...……..…9

5. Материалы для контроля знаний студентов…………….....……10

5.1 Задания для контрольной работы………………………………...10

5.2 Вопросы к экзамену……………………………………...………34

6. Приложения…………………………………………………...…. 39

6.1 Образец решения контрольных задач типового варианта…......39

6.2 Краткие теоретические сведения……………………………...... 67

6.3 Образец оформления обложки с контрольной работой……..…96