6. Приложения.

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский национальный исследовательский технический университет им. А. Н. Туполева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Высшая математика.docx

Скачиваний:

Добавлен:

12.03.2015

Размер:

3.07 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 98 9 > Следующая >>>

6. Приложения.
6.1. Образец решения контрольных задач типового варианта.
1.1 – 30. Вычислить определитель:
а) непосредственным разложением по строке;
б) непосредственным разложением по столбцу;
Решение. а) вычисляем определитель разложением по элементам первой строки: =.
Тогда ==
б) вычисляем определитель непосредственным разложением по элементам второго столбца: =.
Тогда ==.
Ответ: .
2.1-30. а) Найти матрицу ,если:
, .
Решение:
1) Транспонируем матрицу :.
2) Вычисляем произведение матриц :
.
3) Находим матрицу :
.
4) Находим матрицу :
.
Ответ: .
3.1 – 30. Дана система уравнений: .Требуется:
а) найти решение системы методом Крамера; б) записать систему в матричном виде и найти её решение методом обратной матрицы; в) найти решение системы методом Гаусса.
Решение.
А) Метод Крамера.
1а) Вычисляем определитель системы и проверяем, что он отличен от нуля:
.
2а) Так как , то система имеет единственное решение, определяемое формулами Крамера:
3а) Вычисляем определители :
,
,
.
4а) Находим решение: .
5а) Выполняем проверку: .
Ответ: .
Б) Метод обратной матрицы.
1б) Записываем систему уравнений в матричном виде:
или
2б) Вычисляем определитель системы и проверяем, что он отличен от нуля:
3б) Так как , то матрица системыимеет обратную матрицуи единственное решение системы определяется формулой:
или
4б) Находим обратную матрицу (методом присоединённой матрицы):
.
Тогда .
5б) Находим решение:
.
6б) Выполняем проверку: .
Ответ: .
В) Метод Гаусса.
1в) Записываем расширенную матрицу системы:
.
2в) Выполняем прямой ход метода Гаусса.
В результате прямого хода матрица системы должна быть преобразована с помощью элементарных преобразований строк к матрицетреугольного или трапециевидного вида с элементами. Система уравнений, матрица которойявляется треугольной с элементами, имеет единственное решение, а система уравнений, матрица которойявляется трапециевидной с элементами, имеет бесконечно много решений.
. В результате элементарных преобразований матрица системы преобразована к специальному виду. Система уравнений, матрица которой, является треугольной с ненулевыми диагональными элементами, имеет всегда единственное решение, которое находим, выполняя обратный ход.
Замечание. Если при выполнение преобразования расширенной матрицы в преобразованной матрицепоявляется строка, где, то это говорит о несовместности исходной системы уравнений.
3в) Выполняем обратный ход метода Гаусса.
Записываем систему уравнений, соответствующую последней расширенной матрице прямого хода: и последовательно из уравнений системы, начиная с последнего, находим значения всех неизвестных:.
4в) Выполняем проверку: .
Ответ: .
4.1-30. Найти общее решение для каждой из данных систем методом Гаусса:
а) .
Решение.
1а) Записываем расширенную матрицу системы:
.
2а) Выполняем прямой ход метода Гаусса.
.
Матрица системы приведена к трапециевидному виду с ненулевыми диагональными элементами. Соответствующая такой матрице система уравнений имеет бесконечно много решений, которые находим, выполняя обратный ход, и записываем в виде общего решения. Для записи общего решения указываем её базисные и свободные неизвестные. Базисный минор матрицы системы образуют столбцы коэффициентов при неизвестных и:. Поэтому выбираем в качестве базисных – неизвестныеи, тогда свободными будут неизвестныеи.
3а) Выполняем обратный ход метода Гаусса.
Записываем систему уравнений, соответствующую последней расширенной матрице прямого хода: . Свободным неизвестным придаём разные, произвольные постоянные значения:,, и последовательно из уравнений системы, начиная с последнего, находим значения всех базисных неизвестных:.
Тогда общее решение системы запишется в виде: .
4а) Выполняем проверку:
.
Ответ: .
б) .
Решение.
1а) Записываем расширенную матрицу системы:
.
2а) Выполняем прямой ход метода Гаусса.
Замечание. В результате прямого хода матрица системы должна быть преобразована с помощью элементарных преобразований строк к матрицетреугольного или трапециевидного вида с элементами.
Если, при выполнении преобразования расширенной матрицы , в преобразованной матрицепоявляется строка, где, то это говорит о несовместности исходной системы уравнений.
Для выполнения условия может потребоваться перестановка местами столбцов матрицы системы. Если при выполнении преобразований прямого хода в матрице системы переставлялись местами столбцы коэффициентов при неизвестных, то в дальнейшем, при записи системы уравнений, соответствующей последней расширенной матрице прямого хода, это следует учесть.
.
Матрица системы приведена к трапециевидному виду с ненулевыми диагональными элементами. Соответствующая такой матрице система уравнений имеет бесконечно много решений, которые находим, выполняя обратный ход, и записываем в виде общего решения. Для записи общего решения указываем её базисные и свободные неизвестные. Базисный минор матрицы системы, с учётом перестановки местами столбцов, образуют первый и второй столбцы коэффициентов при неизвестных и:. Поэтому выбираем в качестве базисных – неизвестныеи, тогда свободными будут неизвестныеи.
3б) Выполняем обратный ход метода Гаусса.
Записываем систему уравнений, соответствующую последней расширенной матрице прямого хода: . Свободным неизвестным придаём разные, произвольные постоянные значения:,, и последовательно из уравнений системы, начиная с последнего, находим значения всех базисных неизвестных:.
Тогда общее решение системы запишется в виде:
4б) Выполняем проверку:
Ответ: .
в) .
Решение.
1в) Записываем расширенную матрицу системы:
.
2в) Выполняем прямой ход метода Гаусса.
.
При выполнении преобразования расширенной матрицы , в преобразованной матрицепоявилась строка, соответствующая уравнению, которому не удовлетворяет ни один набор значений неизвестных, что говорит о несовместности исходной системы уравнений.
Ответ: Система несовместна.
5.1– 30. Даны векторы :;;;. Требуется:а) вычислить скалярное произведение векторов , если ,; б)вычислить векторное произведение векторов ;в) показать, что векторы образуют базиси найти координаты векторав этом базисе.
Решение.
1a). Находим вектор
=.
2а)Находим вектор
=.
3а) Вычисляем скалярное произведение векторов :
.
б) Вычисляем векторное произведение векторов :
=
1в) Покажем, что векторы образуют базис .Для этого составим определитель, столбцами которого являются координаты этих векторов и покажем, что он отличен от нуля.
.
Так как , то векторы образуют базис и, следовательно, вектор единственным образом можно разложить по векторам этого базиса.
2в) Записываем разложение вектора по векторам базиса:
или .
Коэффициенты разложения ,,называют координатами векторав базисе и записывают: .
3в) Записываем векторное уравнение относительно ,,в виде эквивалентной ему системы линейных уравнений:, и находим единственное решение системы, например, по формулам Крамера:
, где
,,,.
Таким образом: ,,. Следовательно, разложение имеет вид:или кратко:.
Ответ: .
6.1-30. Даны вершины треугольника :,,Требуется найти:
а) длину стороны ; б)уравнение стороны ;
в) уравнение медианы , проведённой из вершины ;
г) уравнение высоты , проведённой из вершины ;
д) длину высоты ; е)площадь треугольника .Сделать чертёж.
Решение. Сделаем чертёж:
а) Длину стороны находим как длину вектора :
,
.
б)Уравнение стороны находим как уравнение прямой, проходящей через точкии, и записываем его в виде общего уравнения прямой:
.
в) Уравнение медианы находим как уравнение прямой, проходящей через точкии, и записываем его в виде общего уравнения прямой. Неизвестные координаты точкинаходим как координаты точки, делящей сторонупополам:
; .
_Тогда:
.
г) Уравнение высоты находим как уравнение прямой, проходящей через точкуперпендикулярно вектору, который принимаем за нормальный вектор прямой. Тогда
д) Длину высотынаходим как расстояние от точкидо прямой, заданной общим уравнением:
.
е) Площадь треугольника находим по формуле: . Откуда.
Ответ: а) ; б); в);
г) ; д); е).
7.1 – 30. Даны вершины пирамиды .Требуется найти:
а) длины ребер и; б)угол между ребрами и;
в) площадь грани ; г)объем пирамиды ;
д) уравнение плоскости грани ;
е) длину высотыпирамиды .
Решение.
а) Длины рёбер и находим как длины векторов и:
;
;
;
.
б)Угол между рёбрами и находим как угол между векторами ипо формуле:. Учитывая, что:,,получим. Откуда
в) Площадь грани находим, используя геометрический смысл векторного произведения векторов, по формуле . Учитывая, что:
, ,получим .
г) Объём пирамиды находим, используя геометрический смысл смешанного произведения векторов, по формуле . Учитывая, что:
,
,
получим .
д) Уравнение плоскости грани находим как уравнение плоскости, проходящей через точки,и, и записываем его в виде общего уравнения плоскости:
е) Длину высоты пирамиды находим как расстояние от точки до плоскости, заданной общим уравнением:
.
Ответ: а) ,; б); в);
г) ; д); е).
8.1–30. Установить, какую кривую определяет алгебраическое уравнение второго порядка, построить её:
а) ; б) ;
в) .
Решение:
а) Выделяя полные квадраты в левой части уравнения , преобразуем его следующим образом:
.
Полученное уравнение определяет гиперболу с центром в точке и осями симметрии параллельными координатным осям. Для построения гиперболы в системе координат:1) отмечаем центр гиперболы ;2) проводим через центр пунктиром оси симметрии гиперболы;3) строим пунктиром основной прямоугольник гиперболы с центром и сторонамиипараллельными осям симметрии;4) проводим через противоположные вершины основного прямоугольника пунктиром прямые, являющиеся асимптотами гиперболы, к которым неограниченно близко при бесконечном удалении от начала координат приближаются ветви гиперболы, не пересекая их; 5) изображаем сплошной линией ветви гиперболы (рис. 1).
Ответ: Гипербола с центром в точке (см. рис.1)..
Рис.1
б) Выделяя полные квадраты в левой части
уравнения , преобразуем его следующим образом:
.
Полученное уравнение определяет эллипс с центром в точке и осями симметрии параллельными осям координат. Для построения эллипса в системе координат:1) отмечаем центр эллипса ;2) проводим через центр пунктиром оси симметрии эллипса;3) строим пунктиром основной прямоугольник эллипса с центром и сторонамиипараллельными осям симметрии;4) изображаем сплошной линией эллипс, вписывая его в основной прямоугольник так, чтобы эллипс касался его сторон в точках пересечения прямоугольника с осями симметрии (рис.2).
Ответ: Эллипс с центром в точке (см. рис.2).
в). Выделяя полные квадраты в левой части уравнения , преобразуем его следующим образом:
Полученное уравнение определяет параболу с вершиной в точке и осью симметрии параллельной оси. Для построения параболы в системе координат:1) отмечаем вершину параболы ;2) проводим через вершину пунктиром ось симметрии параболы;3) изображаем сплошной линией параболу, направляя её ветвь, с учётом того, что параметр параболы , в положительную сторону оси(рис.3).
Ответ: Парабола с вершиной в точке (см. рис.3).
Рис.2. Рис.3.
9.1-30. Требуется:
а) найти область определения функции ;
б) установить чётность (нечётность) функции .
Решение. а) Естественную область определения находим как множество всех значений аргументафункции, для которых формулаимеет смысл:. Решив (на числовой прямой) систему неравенств, устанавливаем, что геометрическим образом множестваявляется промежуток.
б) Находим сначала естественную область определения функции : . Решив (на числовой прямой) неравенство , устанавливаем, что геометрическим образом множестваявляется объединение промежутков.
Так как область является симметричной относительно точки, то проверяем выполнение для всехусловий:или, учитывая чётность и нечётность основных элементарных функций, входящих в аналитическое выражение.
Если область не симметрична относительно точки, тона этом множестве является функцией общего вида.
Для этого находим . Посколькудля всех, то функция является чётной.
Ответ: а) ,;
б) функция - чётная.
10.1-30. Вычислить пределы (не пользуясь правилом Лопиталя):
а) б)в)г)д)
Вычисление предела , где, начинают всегда с подстановки впредельного значения её аргумента. В результате могут получиться неопределённости,,, которые раскрывают тождественными преобразованиямитакими, чтобы преобразованное выражение получилось определённым. При вычислении пределов используют свойства конечных пределов и бесконечно больших функций, а также следующие известные пределы:,, (),,,,,.
Решение. а) При подстановке вместо переменной её предельного значенияполучим неопределённость. Для её раскрытия сначала разделим числитель и знаменатель дроби на(старшую степень переменнойв числителе и знаменателе), после чего используем свойства конечных пределов и бесконечно больших функций. Получим
.
б) При подстановке вместо переменной её предельного значенияполучим неопределённость. Для её раскрытия выделим в числителе и знаменателе дроби общий множитель вида, где- некоторое число, т.е. множитель. Затем сократим на него числитель и знаменатель дроби, после чего используем свойства пределов.
1) В квадратном трёхчлене множитель выделяют разложением квадратного трёхчлена по формуле, где.2) В выражении множитель выделяют следующим способом:
.
В результате получим
.
в) При подстановке вместо переменной её предельного значенияполучим неопределённость. Выделим в числителе множители вида, гдеприи используем свойства пределов. Получим
Для раскрытия неопределённостей , содержащих тригонометрические и обратные тригонометрические функции, в числителе и знаменателе дроби выделяют сначала множители вида:,,,, гдепри, используя формулы тригонометрии:, ,.После чего применяют свойства пределов, учитывая, что: , ,,.
.
г)
Для раскрытия неопределённости , возникающей при вычислении предела, где,, сначала выражение представляют в виде , гдепри. После чего используют свойства пределов, заменяя выражениеего предельным значениеми учитывая, что=.
При подстановке вместо переменной её предельного значенияполучим неопределённость. Представимв виде, гдепри ,следующим способом:
=. Тогда учитывая, что,, получим==.
Ответ: а); б);в); г).
11.1-30. Для указанной функции требуется: а) выяснить при каких значениях параметра функция будет непрерывной; б) найти точки разрыва функции и исследовать их характер. Построить график функции.
а) ; б).
Решение.
Точками разрыва функции являются точки разрыва функцийв промежутках,,…,, кроме того, точками возможного разрыва функцииявляются точкив окрестности которых и в самих точках функция задаётся разными аналитическими выражениями.
Точка является точкой непрерывности функциитогда и только тогда, когда:.
а) Поскольку функции инепрерывны в промежуткахикак элементарные функции, определённые в каждой точке данных промежутков, то непрерывность функции может нарушиться только в точке её возможного разрыва .
Определяем значение параметра из условия непрерывности функциив точке:. Вычисляя ,,:,,, из условия непрерывности, находим.
График непрерывной функции имеет вид изображённый на рис. 1.
б) Функции инепрерывны в промежуткахикак элементарные функции, определённые в каждой точке данных промежутков, а функцияв промежуткеимеет точкой разрыва точку, в которой она не определена. Тогда для функцииточкаявляется точкой разрыва, а точкии, в окрестности которых и в самих точках функция задаётся разными аналитическими выражениями, являются точками возможного разрыва.
Исследуем на непрерывность точки :
1)
.
Следовательно, точка - точка разрыва 1-го рода функции.
2)
Следовательно, точка - точка бесконечного разрыва (2-го рода) функции.
3)
.
Следовательно, точка - точка непрерывности функции.
График функции имеет вид, изображённый на рис.2.
Ответ: а) Функция непрерывна при(рис.1);б) - точка разрыва 1-го рода, -точка бесконечного разрыва функции (рис.2).
Рис.1 Рис.2
12.1-30. Даны комплексные числа ,,и алгебраическое уравнение. Требуется:а) вычислить, ,; б)представить комплексное число в тригонометрической форме, вычислитьи результат представить в алгебраической форме;в) найти все корни алгебраического уравнения на множестве комплексных чисел.
Решение.
1а) Вычисляем : .
2а) Вычисляем .
Сначала находим (учитываем, что). Тогда
3а) Вычисляем :
(учитываем, что ).
1б) Представляем комплексное число в тригонометрической форме , где
(так как комплексное число, изображается точкой , лежащей в третьем квадранте координатной плоскости). Тогда.
2б) Вычисляем по формуле Муавра:
. Полученный результат представляем в алгебраической форме: .
1в) Для нахождения корней алгебраического уравнения , раскладываем его левую часть на множители:
.
2в) Находим корни уравнения на множестве комплексных чисел, приравнивая каждый из множителей нулю (число корней, с учётом кратности, должно равняться порядку уравнения):
1) .
2) .
3) . Так как дискриминант квадратного уравнения, то уравнение имеет два комплексно-сопряжённых корня:.
Замечание. Корни ,можно найти и как корни уравнения, по формуле. Для нахождения комплексных значений корня, числоследует представить в виде комплексного числа в тригонометрической форме:, после чего значения корня найти по формуле:,где
Ответ: a) , , ;
б) ; в) ,,.
6.2. Краткие теоретические сведения.
Тема 1. Определители.
Квадратной матрицей порядка называется квадратная таблица из чисел (,):, состоящая изстрок истолбцов. У квадратной матрицы различают главную диагональ:и побочную диагональ:. Любой квадратной матрицепорядкаможно поставить в соответствие число, равное алгебраической суммеслагаемых, составленных определённым образом из элементовматрицы_, называемое определителем матрицы. Кратко обозначается ,.
Определителем 1-ого порядка называется число .
Определителем 2-ого порядка называется число
.
Определителем 3-его порядка называется число
.
Минором элемента называется определитель, полученный из определителявычёркиванием-ой строки и-ого столбца.
Алгебраическим дополнением элемента называется его минор , взятый со знаком:
.
Определителем порядка называется число
Разложением определителя по-ой строке () называется соотношение:.
Разложением определителяпо-ому столбцу () называется соотношение:
Определители обладают следующими свойствами:
1) определитель не изменится при замене всех его строк столбцами с теми же номерами;
2) определитель изменит знак на противоположный, если переставить местами любые две строки (два столбца) определителя;
3) общий множитель элементов какой-либо строки (столбца) можно вынести за знак определителя;
4) определитель равен нулю, если он содержит нулевую строку (столбец), две одинаковые или пропорциональные строки (столбца);
5) определитель не изменится, если к какой-либо строке (столбцу) прибавить другую строку (столбец), умноженную на любое число;
6) определитель треугольного вида (когда все элементы, лежащие по одну сторону одной из его диагоналей равны нулю) равен произведению диагональных элементов: .
Тема 2. Матрицы.
Матрицей размера называется прямоугольная таблица из чисел (,):, состоящая изстрок истолбцов. Если необходимо указать размеры матрицы, то пишут.
Если , то матрицаназываетсяквадратной.
Нулевой называется матрица , все элементы которой равны нулю, например:.Единичной называется квадратная матрица , на главной диагонали которой стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю, например:.Треугольной называется квадратная матрица , все элементы которой расположенные по одну сторону от главной диагонали равны нулю, например:.Трапециевидной (ступенчатой) называется матрица , все элементы которой, расположенные ниже элементовравны нулю, например:.
Матрицы иназываютсяравными и пишут , если они одинакового размера и их соответствующие элементы равны:,,.
Матрицы можно транспонировать, складывать, вычитать, умножать на число, умножать на другую матрицу.
Транспонированной к матрице называется матрица, столбцами которой являются соответствующие строки матрицы.
Суммой (разностью) матриц иодного размера, называется матрицатого же размера, для которой:
, ,.
Произведением матрицы размера на число называется матрица того же размера, для которой:,,.
Линейной комбинацией матриц и одного размера , называется матрицатого же размера (и- произвольные числа), для которой:,,,
Произведением матрицы на матрицу называется матрица , каждый элемент которойвычисляется по правилу:
, ,.
Операция умножения матрицы на матрицу определена не для всех матриц, а только для таких у которых число столбцов левой матрицы равно числу строк правой матрицы. Такие матрицы называются согласованными для умножения. Поэтому прежде чем выполнять операцию умножения матрицы на матрицу следует проверить их согласованность для умножения и определить размерность матрицы-произведения (если умножение матриц возможно): . Особенность операции умножения матриц состоит в том, что в общем случае:, т.е. переместительное свойство места не имеет.
Элементарными преобразованиями матрицы называются:
1) перестановка строк (столбцов);
2) умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;
3) прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число;
4) вычёркивание нулевой строки (столбца).
Матрицы и, полученные одна из другой в результате элементарных преобразований называютсяэквивалентными и пишут .
Обратной к квадратной матрице порядка, называется матрицатого же порядка, если:, где- единичная матрица порядка.
Квадратная матрица называетсяневырожденной, если её определитель . Обратная матрица всегда существует для невырожденных матриц.
Основными методами вычисления обратной матрицы являются:
Метод присоединённой матрицы. Если-невырожденная матрица, то, где- присоединённая матрица, для которой:. Здесь- алгебраические дополнения элементовматрицы.
В частности, если , то
Метод элементарных преобразований. Для данной квадратной матрицыпорядкастроится прямоугольная матрицаразмераприписыванием ксправа единичной матрицы. Далее, с помощью элементарных преобразований над строками, матрицаприводится к виду, что всегда возможно, если- невырожденная.
Матричными называются уравнения вида: ,,,
где матрицы- известны, матрица- неизвестна. Если квадратные матрицыи- невырожденные, то решения матричных уравнений записываются, соответственно, в виде:,,.
Минором -ого порядка матрицы размера называется определитель квадратной матрицы порядка, образованной элементами матрицы, стоящими на пересечении произвольно выбранных еёстрок истолбцов.
Максимальный порядок отличных от нуля миноров матрицы, называется еёрангом и обозначается или, а любой минор порядка, отличный от нуля –базисным минором.
Тема 3. Системы линейных уравнений.
…Система уравнений вида: называетсясистемой линейных уравнений снеизвестными. Числа называются коэффициентами системы,- свободными членами системы,- неизвестными системы.
В матричной форме система имеет вид: , где,,.Здесь-матрица системы,-матрица-столбец неизвестных,-матрица-столбец свободных членов.
Если , то система называетсяоднородной, в противном случае неоднородной.
Система, матрица которой является треугольной с диагональными элементами, называетсятреугольной. Система, матрица которой является трапециевидной, называетсятрапециевидной.
Решением системы называется всякий упорядоченный набор чисел , обращающий каждое уравнение системы в равенство. Совокупность всех решений называетсямножеством решений системы.
Система называется совместной, если она имеет, по крайней мере, одно решение; определённой, если она имеет только одно решение; неопределённой, если она имеет бесконечно много решений; несовместной, если она не имеет решений.
Однородная система уравнений всегда совместна, так как всегда имеет, по крайней мере, нулевое решение . Треугольная система является определённой, трапециевидная система – неопределённой.
Две системы называются эквивалентными, если множества их решений совпадают.
Элементарными преобразованиями систем уравнений называются:
1) перестановка уравнений;
2) перестановка местами слагаемых в каждом из уравнений системы;
3) умножение уравнения на число, отличное от нуля;
4) прибавление к уравнению другого, умноженного на любое число;
5) вычёркивание уравнения вида: .
Основными точными методами решения систем линейных уравнений являются методы: Крамера, обратной матрицы и Гаусса.
Если число уравнений в системе совпадает с числом неизвестныхи определитель матрицы системы, то система имеет единственное решение, которое можно найти:
а) методом Крамера по формулам: ,,где - определитель, получаемый из определителя матрицы системызаменой-ого столбца на столбец свободных членов;
б) методом обратной матрицы по формуле .
Методом Гаусса находят решение произвольной системы линейных уравнений. Метод состоит в приведении системы уравнений, с помощью элементарных преобразований, к системе специального вида, эквивалентной исходной, решение которой очевидно. Преобразования по методу Гаусса выполняют в два этапа. Первый этап называют прямым ходом, второй - обратным.
В результате прямого хода выясняют: совместна или нет система и если совместна то, сколько имеет решений - одно или бесконечно много, а также, в случае бесконечного множества решений, указывают базисные и свободные неизвестные для записи общего решения системы. Преобразования прямого хода выполняют, как правило, над расширенной матрицей системы , которую получают, приписывая справа к матрице системыстолбец свободных членов. В результате элементарных преобразований строк и перестановкой столбцов, матрица системыдолжна быть приведена к матрицетреугольного или трапециевидного вида с элементами. При этом, система уравнений, матрица которой, является треугольной с диагональными элементами , будет иметь единственное решение; система уравнений, матрица которой , является трапециевидной с элементами, будет иметь бесконечно много решений. Если, при выполнении преобразований расширенной матрицы, в преобразованной матрицепоявится строка, где, то это говорит о несовместности исходной системы уравнений. Базисные неизвестные указывают, выписывая базисный минор преобразованной матрицы системы. Базисными являются неизвестные преобразованной системы, столбцы коэффициентовпри которых образуют базисный минор (определитель максимального порядка, отличный от нуля). Свободными являются неизвестные, не являющиеся базисными.
В результате обратного хода находят решение системы, записывая его в виде общего решения, если их бесконечно много. Преобразования обратного хода часто выполняют, над уравнениями системы, соответствующей последней расширенной матрице прямого хода. В случае единственного решения, его получают, находя последовательно значения всех неизвестных из уравнений системы, начиная с последнего. В случае, когда решений бесконечно много, их записывают в виде общего решения. Для этого свободным неизвестным придают разные произвольные постоянные значения:,,…,, и последовательно из уравнений системы, начиная с последнего, находят значения всех базисных неизвестных. Полученное решение называют общим. Придавая произвольным постоянным, конкретные значения, находят частные решения системы уравнений.
Тема 4. Векторная алгебра.
Вектором (геометрическим) называется направленный отрезок, задаваемый упорядоченной парой точек (началом и концом вектора). Обозначают вектор или. Расстояние между началом и концом вектора называется егодлиной и обозначается или.Углом между векторами иназывается угол,, на который следует повернуть один из векторов, чтобы его направление совпало с направлением другого вектора, при условии, что их начала совпадают.Проекцией вектора на вектор называется число .
Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной прямой или на параллельных прямых. Векторы называются компланарными, если они расположены в одной плоскости или в параллельных плоскостях.
Векторы иназываютсяравными и пишут , если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют равные длины. Векторыиназываютсяпротивоположными и пишут , если они коллинеарны, направлены в разные стороны и имеют равные длины.
Суммой векторов иназывается вектор, соединяющий начало вектораи конец вектора, при условии, что конец векторасовпадает с началом вектора(правило треугольника). Произведением вектора на действительное числоназывается вектор :
1) коллинеарный вектору ;2) имеющий длину ;3) направленный одинаково с вектором , если, и противоположно, если.
Ортом вектора , называется вектор, имеющий единичную длину и направление вектора:.
Базисом в пространстве называется упорядоченная тройка некомпланарных векторов,базисом на плоскости – упорядоченная пара неколлинеарных векторов, базисом на прямой – любой ненулевой вектор на этой прямой. Базис, в котором все векторы попарно перпендикулярны и имеют единичную длину, называетсяортонормированным. Векторы ортонормированного базиса обозначаются: и, и называютсябазисными ортами. Различают правый и левый ортонормированные базисы. Базис -называется правым, если кратчайший поворот отксовершается против хода часовой стрелки, в противном случае он – левый. Базис-называется правым, если из конца векторакратчайший поворот от вектораквиден совершающимся против хода часовой стрелки, в противном случае он – левый.
Условием коллинеарности векторов иявляется равенство:, где- некоторое число.Условием компланарности векторов ,иявляется равенство:, где- некоторые числа.
Всякий геометрический вектор может быть разложен единственным образом по векторам базиса, коэффициенты разложения называются при этом координатами вектора в данном базисе. Например, если - базиси, то всегда существует единственное разложение:, где числа- координаты векторав базисе, при этом пишут. Если взафиксирован ортонормированный базиси, то равносильны записи:и(в записи вектора в координатной форме ортонормированный базис не указывают).
Представление геометрических векторов в координатной форме, позволяет выполнять действия над ними, как над арифметическими векторами:
;
.
Декартовой прямоугольной системой координат в пространстве называется совокупность точки (начало координат) и правого ортонормированного базисаи обозначается. Прямые,,, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов, называютсякоординатными осями: первая – осью абсцисс, вторая – осью ординат, третья – осью аппликат. Плоскости, проходящие через оси координат, называются координатными плоскостями. Аналогично вводится система координат на плоскости: .
Пусть - произвольная точка пространства, в котором введена система координат=.Радиус-вектором точки называется вектор, который всегда единственным образом можно представить в виде:. Числа, являющиеся координатами радиус-вектора, совпадают с проекциями векторана базисные ортыи(на координатные осии).Координатами точки в системе координатназываются координаты её радиус-вектораи пишут. В свою очередь, координаты точкиполностью определяют её радиус-вектор. Всякий геометрический векторв системе координат, всегда можно представить как радиус-вектор некоторой точки и записать в виде:.
Длина вектора, заданного координатами, определяется формулой:.Направляющими косинусами вектора называются числа:,,, при этом.
Координаты вектора, заданного точкамииопределяются по формуле:. Расстояниемежду точкамииопределяется как длина вектораи находится по формуле:
.
Координаты точки делящей отрезокпополам находятся по формулам:,,.
Скалярным произведением векторов иназывается число. Скалярное произведение обладает свойствами:
1) ; 2) где - число;
3) ; 4)
5) ; 6),,, ,,. Для векторови, заданных своими координатами,скалярное произведение вычисляется по формуле:.
Скалярное произведение применяют: 1) для вычисления угла между векторами ипо формуле:;2) для вычисления проекции вектора на векторпо формуле:;3) для вычисления длины вектора по формуле:;4) в качестве условия перпендикулярности векторов и:.
Векторным произведением векторов иназывается вектор, определяемый условиями:1);
2) и;3) - правая тройка векторов.
Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называетсяправой тройкой, если из конца третьего вектора , кратчайший поворот от первого векторако второму, виден совершающимся против хода часовой стрелки. В противном случае, тройканазывается левой.
Векторное произведение обладает свойствами:
1) ; 2),где - число;
3) ; 4)5);
6) ,, ,,,.
Для векторов и, заданных своими координатами,векторное произведение вычисляется по формуле:.
Векторное произведение применяют:1) для вычисления площадей треугольника и параллелограмма, построенных на векторах и, как на сторонах, по формуле:;2) в качестве условия параллельности векторов и:.
Смешанным произведением упорядоченной тройки векторов ,иназывается число.
Смешанное произведение обладает свойствами:
1) ; 2);
3) ; 4)и -компланарны ;
5) ,где -объём параллелепипеда, построенного на векторах,и.
Для векторов ,и, заданных своими координатами,,смешанное произведение вычисляется по формуле:.
Смешанное произведение применяют:1) для вычисления объёмов тетраэдра и параллелепипеда, построенных на векторах ,и, как на рёбрах, по формуле:;2) в качестве условия компланарности векторов ,и:и- компланарны.
Тема 5. Прямые линии и плоскости.
Нормальным вектором прямой , называется всякий ненулевой вектор перпендикулярный данной прямой.Направляющим вектором прямой , называется всякий ненулевой векторпараллельный данной прямой.
Прямая на плоскости в системе координат может быть задана уравнением одного из следующих видов:
1) -общее уравнение прямой, где - нормальный вектор прямой;
2) - уравнение прямой, проходящей через точкуперпендикулярно данному вектору;
3) - уравнение прямой, проходящей через точкупараллельно данному вектору(каноническое уравнение);
4) - уравнение прямой, проходящей через две данные точки,;
5) -уравнения прямой с угловым коэффициентом , где - точка через которую прямая проходит;() – угол, который прямая составляет с осью;- длина отрезка (со знаком), отсекаемого прямой на оси(знак «», если отрезок отсекается на положительной части оси и «», если на отрицательной).
6) -уравнение прямой в отрезках, где и- длины отрезков (со знаком), отсекаемых прямой на координатных осяхи(знак «», если отрезок отсекается на положительной части оси и «», если на отрицательной).
Расстояние от точки до прямой, заданной общим уравнениемна плоскости, находится по формуле:
.
Угол ,() между прямыми и, заданными общими уравнениями или уравнениями с угловым коэффициентом, находится по одной из следующих формул:
; .
, если или.
,если или
Координаты точки пересечения прямых инаходятся как решение системы линейных уравнений:или.
Нормальным вектором плоскости , называется всякий ненулевой векторперпендикулярный данной плоскости.
Плоскость в системе координат может быть задана уравнением одного из следующих видов:
1) -общее уравнение плоскости, где - нормальный вектор плоскости;
2) - уравнение плоскости, проходящей через точкуперпендикулярно данному вектору;
3) - уравнение плоскости, проходящей через три точки,и;
4) -уравнение плоскости в отрезках, где ,и- дины отрезков (со знаком), отсекаемых плоскостью на координатных осях,и(знак «», если отрезок отсекается на положительной части оси и «», если на отрицательной).
Расстояние от точки до плоскости, заданной общим уравнением, находится по формуле:
.
Угол ,() между плоскостями и , заданными общими уравнениями, находится по формуле:
.
, если
, если .
Прямая в пространстве в системе координат может быть задана уравнением одного из следующих видов:
1) -общее уравнение прямой, как линии пересечения двух плоскостей, где и- нормальные векторы плоскостейи;
2) - уравнение прямой, проходящей через точкупараллельно данному вектору(каноническое уравнение);
3) - уравнение прямой, проходящей через две данные точки,;
4) -уравнение прямой, проходящей через точку параллельно данному вектору,(параметрическое уравнение);
Угол ,()между прямыми и в пространстве, заданными каноническими уравнениями находится по формуле:
.
, если .
, если .
Координаты точки пересечения прямой , заданной параметрическим уравнениеми плоскости , заданной общим уравнением, находятся как решение системы линейных уравнений:.
Угол ,()между прямой , заданной каноническим уравнениеми плоскостью , заданной общим уравнением находится по формуле:.
, если .
, если .
Тема 6. Кривые второго порядка.
Алгебраической кривой второго порядка в системе координат называется кривая,общее уравнение которой имеет вид:
,
где числа - не равны нулю одновременно. Существует следующая классификация кривых второго порядка:1) если , то общее уравнение определяет кривуюэллиптического типа (окружность (при ), эллипс (при), пустое множество, точку);2) если , то - кривуюгиперболического типа (гиперболу, пару пересекающихся прямых); 3) если , то - кривуюпараболического типа (параболу, пустое множество, прямую, пару параллельных прямых) . Окружность, эллипс, гипербола и парабола называются невырожденными кривыми второго порядка.
Общее уравнение, где, определяющее невырожденную кривую (окружность, эллипс, гиперболу, параболу), всегда (методом выделения полных квадратов) можно привести к уравнению одного из следующих видов:
1а) -уравнение окружности с центром в точке и радиусом(рис. 5).
1б) - уравнение эллипса с центром в точке и осями симметрии, параллельными координатным осям. Числаи- называютсяполуосями эллипса; прямоугольник со сторонами ,параллельными осям симметрии и центром в точке-основным прямоугольником эллипса; точки пересечения основного прямоугольника с осями симметрии - вершинами эллипса.
Для построения эллипса в системе координат :1) отмечаем центр эллипса;2) проводим через центр пунктирной линией оси симметрии эллипса; 3) строим пунктиром основной прямоугольник эллипса с центром и сторонами,параллельными осям симметрии;4) изображаем сплошной линией эллипс, вписывая его в основной прямоугольник так, чтобы эллипс касался его сторон только в вершинах эллипса (рис.6) .
Аналогично строится и окружность, основной прямоугольник которой имеет стороны (рис. 5).
Рис.5 Рис 6
2) - уравнения гипербол (называемых сопряжёнными) с центром в точке и осями симметрии, параллельными координатным осям. Числаи- называютсяполуосями гипербол; прямоугольник со сторонами ,параллельными осям симметрии и центром в точке-основным прямоугольником гипербол; точки пересечения основного прямоугольника с осями симметрии - вершинами гипербол; прямые , проходящие через противоположные вершины основного прямоугольника –асимптотами гипербол.
Для построения гиперболы в системе координат :1) отмечаем центр гиперболы ;2) проводим через центр пунктирной линией оси симметрии гиперболы;3) строим пунктиром основной прямоугольник гиперболы с центром и сторонамиипараллельными осям симметрии;4) проводим через противоположные вершины основного прямоугольника пунктирной линией прямые, являющиеся асимптотами гиперболы, к которым неограниченно близко, при бесконечном удалении от начала координат, приближаются ветви гиперболы, не пересекая их; 5) изображаем сплошной линией ветви гиперболы (рис. 7) или гиперболы(рис. 8).
Рис.7 Рис.8
3а) - уравнение параболы с вершиной в точкеи осью симметрии, параллельной координатной оси(рис. 9).
3б) - уравнение параболы с вершиной в точке и осью симметрии, параллельной координатной оси(рис. 10).
Для построения параболы в системе координат :1) отмечаем вершину параболы ;2) проводим через вершину пунктирной линией ось симметрии параболы;3) изображаем сплошной линией параболу, направляя её ветвь, с учётом знака параметра параболы : при- в положительную сторону координатной оси, параллельной оси симметрии параболы (рис. 9а и 10а); при- в отрицательную сторону координатной оси (рис.9б и 10б) .
Рис. 9а Рис. 9б
Рис. 10а Рис. 10б
Тема 7. Множества. Числовые множества. Функция.
Под множеством понимают некоторую совокупность объектов любой природы, различимых между собой и мыслимую как единое целое. Объекты, составляющие множество называют его элементами. Множество может быть бесконечным (состоит из бесконечного числа элементов), конечным (состоит из конечного числа элементов), пустым (не содержит ни одного элемента). Множества обозначают: , а их элементы:. Пустое множество обозначают.
Множество называютподмножеством множества , если все элементы множествапринадлежат множествуи пишут. Множестваиназываютравными, если они состоят из одних и тех же элементов и пишут . Два множестваибудут равны тогда и только тогда, когдаи.
Множество называютуниверсальным (в рамках данной математической теории), если его элементами являются все объекты, рассматриваемые в данной теории.
Множество можно задать: 1) перечислением всех его элементов, например: (только для конечных множеств);2) заданием правила определения принадлежности элементауниверсального множества, данному множеству:.
Объединением множеств иназывается множество
.
Пересечением множеств иназывается множество
.
Разностью множеств иназывается множество
.
Дополнением множества (до универсального множества) называется множество.
Два множества иназываютсяэквивалентными и пишут ~, если между элементами этих множеств может быть установлено взаимно однозначное соответствие. Множествоназываетсясчётным, если оно эквивалентно множеству натуральных чисел :~. Пустое множество по определению относится к счётным.
Понятие мощности множества возникает при сравнении множеств по числу содержащихся в них элементов. Мощность множестваобозначают. Мощностью конечного множества является число его элементов.
Эквивалентные множества обладают равной мощностью. Множество называетсянесчётным, если его мощность больше мощности множества .
Действительным (вещественным) числом называется бесконечная десятичная дробь, взятая со знаком «+» или «». Действительные числа отождествляют с точками числовой прямой.Модулем (абсолютной величиной) действительного числа называется неотрицательное число:
Множество называетсячисловым, если его элементами являются действительные числа.Числовымипромежутками называются множества чисел:,,,,,,,,.
Множество всех точек на числовой прямой, удовлетворяющих условию, где- сколь угодно малое число, называется-окрестностью (или просто окрестностью) точки и обозначается. Множество всех точекусловием, где- сколь угодно большое число, называется-окрестностью (или просто окрестностью) бесконечности и обозначается .
Величина, сохраняющая одно и тоже числовое значение, называется постоянной. Величина, принимающая различные числовые значения, называется переменной. Функцией называется правило, по которому каждому числу ставится в соответствие одно вполне определённое число, и пишут. Множествоназываетсяобластью определения функции, -множеством (или областью) значений функции, -аргументом, -значением функции. Наиболее распространённым способом задания функции является аналитический способ, при котором функция задаётся формулой. Естественной областью определения функции называется множествозначений аргумента, для которого данная формула имеет смысл.Графиком функции ,в прямоугольной системе координат, называется множество всех точек плоскости с координатами,.
Функция называетсячётной на множестве , симметричном относительно точки, если для всехвыполняется условие:инечётной, если выполняется условие . В противном случае- функция общего вида илини чётная, ни нечётная.
Функция называетсяпериодической на множестве , если существует число(период функции), такое, что для всех выполняется условие:. Наименьшее числоназывается основным периодом.
Функция называетсямонотонно возрастающей (убывающей) на множестве , если большему значению аргументасоответствует большее (меньшее) значение функции.
Функция называетсяограниченной на множестве , если существует число, такое, что для всехвыполняется условие:. В противном случае функция -неограниченная.
Обратной к функции ,, называется такая функция , которая определена на множествеи каждому
ставит в соответствие такое , что. Для нахождения функции, обратной к функции, нужно решить уравнение относительно . Если функция , является строго монотонной на , то она всегда имеет обратную, при этом, если функция возрастает (убывает), то обратная функция также возрастает (убывает).
Функция , представляемая в виде, где,- некоторые функции такие, что область определения функциисодержит всё множество значений функции, называетсясложной функцией независимого аргумента . Переменнуюназывают при этом промежуточным аргументом. Сложную функциюназывают также композицией функцийи, и пишут:.
Основными элементарными функциями считаются: степенная функция ,показательная функция (,),логарифмическая функция (,),тригонометрические функции ,,,,обратные тригонометрические функции ,,,.Элементарной называется функция, полученная из основных элементарных функций конечным числом их арифметических операций и композиций.
_{Если
задан график} функции ,, то построение графика функциисводится к ряду преобразований (сдвиг, сжатие или растяжение, отображение) графика_:
₁₎_{преобразование
симметрично отображает график,
относительно оси;}₂₎_{преобразование
симметрично отображает график,
относительно оси;}₃₎_{преобразование
сдвигает графикпо осинаединиц (-
вправо,- влево);}₄₎_{преобразование
сдвигает графикпо осинаединиц (-
вверх,- вниз);}₅₎_{преобразование
графиквдоль осирастягивает враз, еслиили сжимает враз, если;}₆₎_{преобразование
графиквдоль осисжимает враз, еслиили растягивает враз, если.}
_{Последовательность
преобразований при построении графика
функции} можно представить символически в виде:
.
Примечание. При выполнении преобразования следует иметь в виду, что величина сдвига вдоль осиопределяется той константой, которая прибавляется непосредственно к аргументу, а не к аргументу.
Графиком функции является парабола с вершиной в точке, ветви которой направлены вверх, еслиили вниз, если. Графиком дробно-линейной функцииявляется гипербола с центром в точке, асимптоты которой проходят через центр, параллельно осям координат.
В некоторых случаях при построении графика функции целесообразно разбить её область определения на несколько непересекающихся промежутков и последовательно строить график на каждом из них. Например, при построении графика функции, в аналитическое выражение которой входит функция , следует выделить и рассмотреть отдельно промежутки, на которых выражение под знаком модуля не меняет знак.
График функции можно построить, предварительно построив графики функцийи, а затем сложив их ординаты при одинаковых значениях.
Тема 8. Предел функции. Эквивалентные функции.

Число называетсяпределом функции при (или в точке ), и пишут, если для любого числанайдётся числотакое, что при всех, удовлетворяющих условию, выполняется неравенство.

Число называетсяпределом функции при , и пишут , если для любого числанайдётся числотакое, что при всех, удовлетворяющих условию, выполняется неравенство.

Рассматривают также односторонние пределы функций: ,,,, гдестремится к,,или только с левой стороны или только с правой стороны.

Основные утверждения, используемые для вычисления пределов функций при (в дальнейшем- или числоили символ):

1) Если - постоянная величина, то.

2) Если существуют конечные пределы ,, то:
а) ;б) ;
в) ;г) , если.

При вычислении пределов постоянно пользуются и тем, что для любой основной элементарной функции и точкииз её области определения справедливо соотношение.

Функция называетсябесконечно большой при , если. Функцияназываетсябесконечно малой при , если.

Основные утверждения для бесконечно больших функций, используемые для вычисления пределов при :

1) Если, то,если, то
2) Если и, то.

3) Если и, то.

4) Если и, то.

5) Если и, то.

6) Если и, то.

Если непосредственное применение свойств конечных пределов и бесконечно больших функций приводит к неопределённым выражениям, символически обозначаемым: , то для вычисления предела – «раскрытия неопределённости» - преобразовывают выражение так, чтобы получить возможность его вычислить.