математические модели простейших систем и процессов в естествознании и техники.

В результате изучения данной дисциплины студенты должны знать:

теоретические основы линейной алгебры и аналитической геометрии; дифференциального и интегрального исчисления; дифференциальных уравнений; числовых и функциональных рядов; теории вероятностей и математической статистики.

Инженер должен уметь:

употреблять математическую символику для выражения количественных и качественных отношений объектов;

исследовать модели с учетом их иерархической структуры и оценкой пределов применимости полученных результатов;

использовать основные приемы обработки экспериментальных данных;

использовать полученные знания для решения практических задач.

2. Содержание и структура дисциплины.

2.1 Содержание дисциплины (наименование и номера тем).

Раздел I. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА.

Тема 1. Определители.

Определители 2-ого, 3-его, порядков, порядка n. Свойства определителей. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по элементам строки или столбца. Вычисление определителей.

Литература: [1] –C.142-154; [2] – C.22-26; [3] – C.20-24; [4] – C.263-268.

Тема 2. Матрицы.

Определение матрицы. Виды матриц. Действия над матрицами. Базисный минор. Ранг матрицы. Обратная матрица, условие существования, основные способы её нахождения. Матричные уравнения, их решение.

Литература: [1] –C.136-142; 159-165;174-182; [2] – C.9-16; 26-29;

[3] – C.16-20; 24-28; [4] – C.259-263; 272-276.

Тема 3. Системы линейных уравнений.

Системы линейных уравнений (СЛУ). Основные понятия и определения. Матричная запись СЛУ. Теорема Кронеккера-Капелли. Формулы Крамера. Решение СЛУ методом обратной матрицы. Решение СЛУ методом Гаусса. Однородные системы линейных уравнений, свойства их решений.

Литература: [1] –C.136-142; 154-159; 165-174; [2] – C.38-53;

[3] – C.29-38; [4] – C.268-276.

Раздел II. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Тема 4. Векторная алгебра.

Геометрические векторы на прямой, плоскости и в пространстве, линейные операции над ними. Линейная комбинация векторов. Линейно зависимая и линейно независимая система векторов. Базис плоскости, пространства. Системы координат на плоскости и в пространстве, координаты вектора. Линейные операции над векторами в координатной форме. Проекция вектора. Прямоугольная декартова система координат. Радиус-вектор. Длина и направляющие косинусы вектора. Расстояние между точками. Деление отрезка в данном отношении. Скалярное, векторное, смешанное произведения векторов, их свойства, выражение в координатной форме, приложения для решения геометрических задач. Условия перпендикулярности, параллельности и компланарности векторов.

Литература: [1] –C.5-37; [2] – C.63-68; [3] – C.39-57; [4] – C.222-241.

Раздел III. Аналитическая геометрия

Тема 5. Прямые линии и плоскости.

Прямая на плоскости. Различные виды уравнений прямой на плоскости. Расстояние от точки до прямой. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Плоскость. Различные виды уравнений плоскости. Взаимное расположение 2-ух плоскостей. Расстояние от точки до плоскости. Прямая в пространстве. Различные виды уравнений прямой в пространстве. Взаимное расположение 2-ух прямых в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости

Литература: [1] –C.45-71; [2] – C.95-104; 119-121;

[3] – C.68-74; 92-104; [4] – C.34-52; 244-252.

Тема 6. Кривые и поверхности второго порядка

Кривые 2-ого порядка на плоскости: окружность, эллипс, гипербола, парабола, их определения, канонические уравнения, форма. Приведение общего уравнения кривой 2-ого порядка к каноническому виду и построение. Поверхности 2-ого порядка, их канонические уравнения и форма. Метод сечения при исследовании формы поверхности.

Литература: [1] –C.72-110; [2] – C.104-115; [3] – C.74-89; 104-115;

[4] – C.52-69; 252-259.

Раздел IV. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.

Тема 7. Функциональная зависимость.

Понятие функции. Способы задания функции. График функции. Основные элементы поведения функции. Основные элементарные функции, их свойства и графики. Обратная и сложная функции. Элементарные функции, их классификация. Построение графиков функций.

Литература: [1]–C.15-24; 46-58; 88-91; [2]–C123-140.; [3]–C. 120-27; [5]–C.10-19; 69-73; 100-102.

Тема 8. Предел функции. Сравнение бм функций. Эквивалентные бм функции.

Определения предела функции при , при. Геометрический смысл предела. Односторонние пределы. Бесконечно большие и малые функции, их свойства. Основные теоремы о пределах функций. Предельный переход в неравенствах. Первый и второй замечательные пределы. Эквивалентные бесконечно малые функции, их свойства и применение при вычислении пределов.

Литература: [1] –C.58-73; [2] –C.143-159; [3] – C.132-53; 59-60; [5] – C.73-87.

Тема 9. Непрерывность функции.

Определения непрерывности функции в точке. Понятие непрерывности справа и слева. Арифметические операции над непрерывными функциями. Непрерывность сложной функции. Непрерывность элементарных функций. Точки разрыва функции, их классификация. Непрерывность функции на множестве. Основные свойства функций, непрерывных на отрезке. Условие существования обратной функции.

Литература: [1] –C.74-91; [2] –C.161-166; [3] – C.153-61; [5] – C.87-97, 102-104.

Раздел V. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И МНОГОЧЛЕНЫ.

Тема 10. Комплексные числа и многочлены.

Комплексные числа, их геометрическое изображение на плоскости. Различные формы записи комплексных чисел. Действия над комплексными числами. Извлечение корня n-ой степени из комплексных чисел. Многочлены и алгебраические уравнения. Основная теорема алгебры. Теорема Безу. Разложение многочленов на линейные и квадратичные множители.

Литература: [1] –C.182-188; [3] – C.218-24 [4] – C.402-405.

2.2. Практические занятия, их содержание.

Раздел I. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА.

Тема 1. Определители.

Определители 2-ого, 3-его, порядков, их вычисление. Свойства определителей. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по элементам строки или столбца. Вычисление определителей порядка .

Тема 2. Матрицы.

Действия над матрицами (транспонирование, сложение, умножение на число, линейная комбинация матриц, умножение матрицы на матрицу). Элементарные преобразования матриц. Базисный минор. Ранг матрицы и его вычисление. Обратная матрица, её нахождение. Матричные уравнения, их решение. Литература: [6].- С.51-68, 114-137.

Тема 3. Системы линейных уравнений.

Метод Крамера решения СЛУ. Матричная запись СЛУ. Решение СЛУ методом обратной матрицы. Метод Гаусса решения СЛУ. Однородная СЛУ. Литература: [6]. С.137-148, 186-190.

Раздел II. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА.

Тема 4. Векторная алгебра.

Линейные операции над геометрическими векторами. Базис и координаты вектора. Длина и направляющие косинусы вектора. Координаты точки. Расстояние между точками. Деление отрезка в данном отношении. Скалярное произведение геометрических векторов. Проекция вектора на вектор. Применение скалярного произведения для решения геометрических задач. Векторное и смешанное произведения векторов, их применение в геометрии.

Раздел III. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.

Тема 5. Прямые линии и плоскости.

Прямая на плоскости. Различные виды уравнений прямой на плоскости. Расстояние от точки до прямой. Угол между прямыми. Плоскость. Различные виды уравнений плоскости. Расстояние от точки до плоскости. Угол между плоскостями. Прямая в пространстве. Различные виды уравнений прямой в пространстве. Угол между прямыми, прямой и плоскостью в пространстве. Точка пересечения прямой и плоскости.

Тема 6. Кривые и поверхности второго порядка.

Кривые второго порядка, приведение их уравнений к каноническому виду, построение. Поверхности 2-ого порядка, приведение их уравнений к каноническому виду, построение.

Раздел IV. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.

Тема 7. Функциональная зависимость.

Понятие функции. Область определения функции. Основные элементы поведения функции (ограниченность, чётность и нечётность, периодичность, монотонность). Обратная функция. Сложная функция. Построение графиков элементарных функций.

Тема 8. Предел функции. Эквивалентные функции.

Определение предела функции при . Неопределённые выражения. Вычисление пределов рациональных и иррациональных выражений. Вычисление пределов с помощью первого и второго замечательного пределов. Вычисление пределов с помощью принципа замены эквивалентных бм функций. Односторонние пределы, их вычисление.

Тема 9. Непрерывность функции.

Непрерывность функции в точке. Точки разрыва функции и их классификация.

Раздел V. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. АЛГЕБРА МНОГОЧЛЕНОВ.

Тема 10. Комплексные числа.

Комплексные числа, их изображение на плоскости. Действия над комплексными числами (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня). Многочлены и алгебраические уравнения. Разложение многочленов на линейные и квадратичные множители.

Литература: [6]. С.39-48, 68-92.

2.3. Виды самостоятельной работы студентов.

Самостоятельная работа студентов предполагает изучение теоретического материала и выполнение одной контрольной работы.

3. Рекомендуемая литература.

Основная литература: