
Лекция8
.docЛекция 8.
ПРИБЛИЖЕННОЕ Решение ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ.
Дифференциальные уравнения являются основным математическим инструментом моделирования и анализа разнообразных явлений и процессов в науке и технике.
Методы их решения подразделяются на два класса:
-
аналитические методы, в которых решение получается в виде аналитических функций;
-
численные (приближенные) методы, где искомые интегральные кривые получают в виде таблиц их численных значений.
Применение аналитических методов позволяет исследовать полученные решения методами математического анализа и сделать соответствующие выводы о свойствах моделируемого явления или процесса. К сожалению, с помощью таких методов можно решать достаточно ограниченный круг реальных задач. Численные методы позволяют получить с определенной точностью приближенное решение практически любой задачи.
Решить дифференциальное уравнение
(7.1)
численным
методом означает, что для заданной
последовательности аргументов
и числа
,
не определяя аналитического вида функции
,
найти значения
,
удовлетворяющие условиям:
.
Рассмотрим три наиболее распространенных при решении практических задач численных метода интегрирования: метод Эйлера, метод Рунге-Кутта и метод Адамса.
§8.1. Метод Эйлера.
Этот метод обладает малой точностью и применяется в основном для ориентировочных расчетов. Однако идеи, положенные в основу метода Эйлера, являются исходными для ряда других численных методов.
Пусть дано дифференциальное уравнение с начальным условием (задача Коши)
,
(7.2)
и выполняются условия существования и единственности решения.
Теорема Пиккара (теорема о существовании и единственности решения задачи Коши).
Если
в уравнении (7.1) функция
непрерывна в прямоугольнике
и удовлетворяет в
условию Липшица
,
где
- константа Липшица, то существует
единственное решение
,
,
уравнения (7.1), удовлетворяющее условию
,
где
,
в
.
Требуется
найти решение
задачи Коши (7.2) на отрезке
.
Выбрав
шаг
- достаточно малый, равный
,
строим систему равноотстоящих точек
И
скомую
интегральную кривую
,
проходящую через точку
,
приближенно заменим ломаной Эйлера с
вершинами
(Рис.7.1).
Звено
ломаной
,
заключенное между
и
,
наклонено к оси
под углом
.
Тангенс этого угла вычисляется по
формуле:
.
Сделав преобразование, получим формулу Эйлера:
.
(7.3)
Вычисление
значений
осуществляется с использованием формулы
(7.3) следующим образом. По заданным
начальным условиям
и
полагая
в выражении (7.3) вычисляется значение
(7.4)
Далее
определяя значение аргумента
по формуле
,
используя найденное значение
и полагая в формуле (7.3)
вычисляем следующее приближенное
значение интегральной кривой
,
как
(7.5)
Поступая
аналогичным образом при
определяем все остальные значения
,
в том числе последнее значение
,
которое соответствует значению аргумента
.
Таким
образом, соединяя на координатной
плоскости точки
отрезками прямых, получаем ломанную
линию с вершинами в точках
.
Запишем
разложение
в ряд Тейлора:
(7.6)
Учитывая формулы (7.3) и (7.6), получим
(7.7)
Соотношение
(7.7) может быть использовано для выбора
шага
.
Как правило, шаг
выбирают таким образом, чтобы
,
где
- заданная точность.
Метод Эйлера может быть применен к решению систем дифференциальных уравнений.
Пусть задана система двух уравнений первого порядка
(7.8)
с начальными условиями
.
Необходимо найти решение этой задачи Коши. Проводя аналогичные рассуждения, получаем расчетные формулы вида:
(7.9)
где
-
шаг интегрирования.
При
расчетах полагается, что
и
.
В результате применения расчетной схемы
(7.9) получается приближенное представление
интегральных кривых
и
в форме двух ломаных Эйлера, построенных
по полученным таблицам
.
Достоинством метода Эйлера является его простота и высокая скорость поиска решения. Недостатками метода Эйлера являются малая точность и систематическое накопление ошибок, так как при вычислении значений на каждом последующем шаге исходные данные не являются точными и содержат погрешности, зависящие от неточности предшествующих вычислений.
§8.2. Метод Рунге-Кутта.
Данный метод является одним из наиболее распространенных численных методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. По сравнению с описанным выше методом Эйлера метод Рунге-Кутта имеет более высокую точность, но невысокую скорость поиска решения, так как метод относится к классу многошаговых методов.
Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка
,
(7.10)
с начальным условием
.
(7.11)
Выберем
шаг
и для краткости введем обозначения
,
,
где
.
Рассмотрим числа:
(7.12)
По
методу Рунге-Кутта последовательные
значения
искомой функции
определяются по формуле:
.
(7.13)
Погрешность
метода Рунге-Кутта, заданного формулой
(7.13), на каждом шаге есть величина порядка
(в предположении, что
.
Формулу (7.13) еще называют формулой Рунге-Кутта четвертого порядка точности.
Помимо
формулы (7.13) существуют еще другие
формулы типа Рунге-Кутта с иными порядками
точности. В частности формула
- формула Рунге-Кутта второго порядка
точности. Эта формула на каждом шаге
дает погрешность порядка
.
Для
определения правильности выбора шага
на практике обычно на каждом этапе из
двух шагов применяют двойной пересчет.
Исходя из текущего верного значения
,
вычисляют
двумя способами: вначале с шагом
,
а затем с шагом
.
Если расхождение полученных результатов
не превышает допустимой погрешности,
то шаг
для данного этапа выбран правильно и
полученное с его помощью значение можно
принять за
.
В противном случае шаг уменьшается в
два раза. Эту вычислительную схему легко
запрограммировать на ЭВМ.
Метод Рунге-Кутта может быть использован и при решении систем дифференциальных уравнений. Рассмотрим задачу Коши для системы двух дифференциальных уравнений:
с начальными условиями
.
Формулы метода Рунге-Кутта для данной системы примут вид:
где
Метод Рунге-Кутта обладает значительной точностью и, несмотря на свою трудоемкость, широко используется при численном решении дифференциальных уравнений и систем. Важным преимуществом этого метода является возможность применения переменного шага, что позволяет учитывать локальные особенности искомой функции.
§8.3. Метод Адамса.
Этот метод численного интегрирования разработан Адамсом в 1855 году по просьбе известного английского артиллериста Башфорта, который занимался баллистикой. В последствии этот метод был забыт и вновь открыт в начале XX века норвежским математиком Штермером. Популяризация метода Адамса и дальнейшее его усовершенствование связано с именем А.Н. Крылова.
Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка
,
(7.14)
с начальным условием
.
(7.15)
Пусть
- система равноотстоящих значений с
шагом
и
.
Очевидно, что
.
(7.16)
Запишем вторую интерполяционную формулу Ньютона с точностью до разностей четвертого порядка:
,
(7.17)
где
.
В формуле (7.17) функцию
заменим на производную
,
получим:
.
(7.18)
Так как
,
то подставив (7.18) в (7.16), получим:
.
После преобразований будем иметь:
.
(7.19)
Формула (7.19) называется экстраполяционной формулой Адамса.
Для начала итерационного процесса нужно
знать начальные значения
,
так называемый начальный отрезок,
который определяют, исходя из начального
условия (7.15), каким-либо численным методом
(например, методом Рунге-Кутта). Зная
значения
из (7.14) находят
и составляют таблицу разностей:
.
(7.20)
Дальнейшие значения
искомого решения можно шаг за шагом
вычислять по формуле Адамса (7.19), пополняя
по мере необходимости таблицу разностей
(7.20).
Для работы на ЭВМ формулу Адамса применяют в раскрытом виде. Так как
то после приведения подобных членов имеем:
(7.21)
На практике шаг
выбирают так, чтобы можно было пренебречь
величиной
.
Метод Адамса легко распространяется на системы дифференциальных уравнений. Погрешность метода Адамса имеет тот же порядок, что и метод Рунге-Кутта.