5. Изображение многогранников
Многогранником называют тело, ограниченное плоскими многоугольниками. Многогранник, расположенный по одну сторону от плоскости его грани, называют выпуклым.
Грани, вершины, и ребра многогранников связаны между собой соотношением, называемым теоремой Л. Эйлера: Г+В-Р=2, где: Г - число граней, В - число вершин и Р - число ребер.
Число граней многогранника не может быть меньше четырех, а сумма углов многоугольников, сходящихся в одной вершине, многогранных углов, не должно быть больше 2.
Основные виды многогранников: пирамида, призма, правильные многогранники и многогранники, имеющие соответствующие одинаковые двугранные углы.
Многогранник представляет собой частный случай замкнутой многогранной поверхности.
5.1 Виды многогранников
Призмой называют многогранник, у которого две одинаковые взаимно параллельные грани - основания, а остальные грани - параллелограммы.
Пирамида представляет собой многогранник, у которого одна грань (произвольный многоугольник) принимается за основание, а остальные (боковые) грани - треугольники с общей вершиной.
Правильными называются такие многогранники, у которых все грани - правильные равные многоугольники. Так как в каждой вершине многогранника должны сходиться не меньше трех многоугольников, а у правильного многоугольника все углы равны, то величина угла многоугольника (грани) должна быть меньше 2/3.
В правильном шестиугольнике углы равны 2/3, поэтому в правильном многограннике грань не может быть шестиугольником.
Из сказанного можно сделать вывод, что правильных многогранников может быт только пять. В качестве граней правильных многогранников могут быть только правильный треугольник, четырехугольник и пятиугольник. Правильными многогранниками являются:
правильный четырехгранник или тетраэдр (грань - правильный треугольник);
правильный шестигранник (куб) или гексаэдр (грань квадрат);
правильный восьмигранник или октаэдр (грань правильный треугольник);
правильный двенадцатигранник или додекаэдр (грань - правильный пятиугольник);
правильный двенадцатигранник или икосаэдр (грань - правильный треугольник).
Правильные многогранники называют Платоновы тела.
Тетраэдр Гексаэдр Додекаэдр
При изображении многогранника видимость его ребер и граней определяется с помощью конкурирующих точек.
5.2 Пересечение прямой линии с поверхностью многогранника
Задача на пересечение прямой с поверхностью многогранника решается с помощью вспомогательной секущей проецирующей плоскости, проводимой через заданную прямую (рис.4.12).
Рис.4.12
Вспомогательная горизонтально проецирующая плоскость (`) проведена через прямую l.
5.3 Пересечение многогранника плоскостью общего положения
Задача на пересечение многогранника плоскостью общего положения решается с помощью вспомогательных секущих плоскостей. На рис. 4. 12а приведен пример пересечения трехгранной призмы DEFD1E1F1 плоскостью треугольника АВС.
Рис. 4.12а
Задача на рис. 4. 12а решена с помощью вспомогательных секущих плоскостей:
(``), проведенной через сторону АВ треугольника АВС, которая пересекла призму по треугольнику 123, точки пересечения M и N c FD принадлежат искомой линии пересечения,
и вспомогательных секущих плоскостей (`) и (``), с помощью которых найдены соответственно точки P и Q линии MPQN пересечения призмы DEFD1E1F1 c треугольником АВС.
Определение видимости на чертеже не показано.