4.1.3. Дифференцирующее звено первого порядка

Дифференцирующее звено 1–го порядка имеет передаточную функцию вида

(4.10)

где k– передаточный коэффициент звена;– постоянная времени.

Уравнение этого звена

(4.11)

получим из (4.2) при При этомВыходная величина этого звена определяется не только текущим значением, но и скоростью изменения входной величины.

Характеристики звена:

а) Переходная функция определяется выражением

(4.12)

При скачкообразном изменении входной величины на выходе звена получим импульс с бесконечно большой амплитудой, соответствующий бесконечно большой скорости изменения входной величины в момент скачка. После этого выходная величина принимает постоянное установившееся значение.

б) Частотные характеристики звена имеют вид:

(4.13)

где ,

АФХ звена изображена на рис. 4.3. АФХ – прямая, параллельная мнимой оси. Она начинается на действительной оси в точке kпри=0.

Дифференцирующее звено создает опережение выходной величины по фазе. При сдвиг по фазе стремится к 90.

в) Уравнение ЛАХ:

(4.14)

Для частот в выражении (4.14) можно пренебречь величинойпо сравнению с 1, а для частотнаоборот, можно пренебречь единицей по сравнению с величиной. Тогда приближенно можно записать

(4.15)

Соотношения (4.15) показывают, что ЛАХ дифференцирующего звена 1-го порядка приближенно может быть представлена двумя прямолинейными отрезками (асимптотами). В граничной точке Действительное значение ЛАХ в точкеотличается от приближенного значения примерно на 3 дБ. Частотаназывается частотой сопряжения асимптотической ЛАХ. Линияпараллельна оси частот, а линияимеет положительный наклон +20 дБ/дек. На рис. 4.4 изображены ЛАХ и ЛФХ дифференцирующего звена 1-го порядка, построенные в зависимости от безразмерной (нормированной) частотыНетрудно убедиться, что сопрягающей частотой будет значениеа ветвьтакже будет иметь положительный наклон +20 дБ/дек. В логарифмическом масштабе частот характеристикакосо-симметрична относительно сопрягающей частоты, при которой она имеет ординату 45.

4.1.4. Интегрирующее звено

У интегрирующего звена скорость изменения выходной величины пропорциональна входной величине:

(4.16)

Уравнение (4.16) получим из (4.1) при . При этом передаточный коэффициент

Умножим (4.16) на dtи проинтегрируем по времени от нуля до текущего значенияt.

(4.17)

Решение уравнения (4.17):

(4.18)

Согласно (4.18) выходная величина пропорциональна интегралу от входной величины, откуда и название звена.

Применив к уравнению (4.16) преобразование Лапласа при нулевых начальных условиях, получим:

(4.19)

Из (4.19) следует, что интегрирующее звено имеет передаточную функцию (4.20)

С помощью интегрирующего звена можно моделировать, например, кинематическую связь между углом и угловой скоростьюповорота некоторого механического элемента:

Характеристики звена:

а)Переходная функция звена определяется выражением

(4.21)

График функции (4.21) есть прямая, проведённая из начала координат под углом

б) Весовая функция интегрирующего звена

(4.22)

есть ступенчатая функция.

в) Частотная передаточная функция

(4.23)

где

При измененииот 0 до(рис.4.5) конец векторадвижется по отрицательной части мнимой оси отдо 0. Интегрирующее звено создает отставание выходной величины от входной на 90^при всех частотах. Амплитуда выходной величины уменьшается с возрастанием частоты.

г) ЛАХ интегрирующего звена определяется формулой

(4.24)

Выражение (4.24) есть уравнение прямой с наклоном -20 дБ/дек, проходящей при частоте через точкуПересечение графиком функции (4.24) оси частот происходит при=k.