Сделаем подстановкув выражение для:

где

Начальное положение вектора при:

Конечное положение вектора при:

Так как при любых значениях частотыгодограф вектора находится в верхней части КП (рис. 7.4). Нетрудно убедиться, что приприПри возрастанииот 0 довекторповернется на уголт.е. по часовой стрелке.

Перейдя от АФХк АФХпо формуле (7.30), получим годограф вектора, охватывающий точку с координатами(рис. 7.4 б).

Снимем теперь ограничения на корни характеристического полинома разомкнутой системы Будем полагать, что в нем кроме корней с отрицательными вещественными частями есть нулевые корни.

При наличии одного нулевого корня знаменатель функции будет иметь выражение

Запишем частотную функцию разомкнутой системы

(7.31)

где

При

В результате на частоте = 0 АФХ разомкнутой системы будет иметь разрыв непрерывности (рис. 7.5а). Для получения определенности в ходе АФХ заменим нулевой кореньбесконечно малым вещественным отрицательным корнем. Тогда полиномпримет вида в знаменателе частотной функциивместополучим сомножительмодуль которогопри=0 есть бесконечно малая величина, а фазаизменяется от нуля при=0 до/2 приПри этом модуль функции (7.31)А(0) будет стремиться к бесконечности, а фаза будет изменяться от нуля до ‑/2.

Таким образом, АФХ разомкнутой системы дополнится по часовой стрелке четвертью окружности с радиусом , начало которой находится на вещественной оси, и разрыв непрерывности будет устранен (рис. 7.5 б). Кроме того, так как нулевой корень заменен вещественным отрицательным корнем, то разомкнутую систему можно считать устойчивой. Все это означает, что для исследования устойчивости замкнутой системы можно применять приведенную ранее формулировку критерия Найквиста.

7.6. Пример определения устойчивости системы по критерию Найквиста

Определим устойчивость следящей системы, рассмотренной в разделе 6 (рис.6.1). Структурная схема следящей системы при условии М_с=0 приведена на рис.7.6.

Передаточная функция разомкнутой цепи будет равна произведению передаточных функций отдельных звеньев:

где - общий коэффициент усиления разомкнутой цепи.

Модуль частотной передаточной функции разомкнутой системы

и фаза

При модульа фазаПо мере увеличенияфаза изменяется отдопри. Это означает, что АФХ разомкнутой системы располагается в третьем и втором квадрантах КП. Модуль с увеличением уменьшается и пристановится равным нулю. Таким образом, с учетом дополнения четвертью окружности радиусомАФХ выглядит так, как показано на рис. 7.5б.

Частоту , на которой фазанайдем из условияоткуда. Подставив это значение в выражение для модуля, получим:Замкнутая система устойчива, еслиТаким образом, условие устойчивости замкнутой системы

7.7. Определение устойчивости по логарифмическим частотным характеристикам

Если устойчива разомкнутая система, то для устойчивости соответствующей замкнутой системы нужно, чтобы АФХ разомкнутой системы либо не пересекала действительную ось слева от точки (рис. 7.7 а), либо пересекала ее четное число раз, не охватывая указанную точку (рис. 7.8 а).

При использовании логарифмических частотных характеристик разомкнутой системы следует учитывать, что точке АФХ с координатами соответствуют критические значенияВ случае, когда разомкнутая одноконтурная система устойчива, замкнутая система также будет устойчива, если ЛАХ разомкнутой системы пересекает ось абсцисс при меньшей частоте, чем ЛФХ пересекает линию на уровне -. При этом ЛФХ может либо не иметь других точек пересечения уровня -левее частоты среза (рис. 7.7 б), либо иметь их четное количество (рис. 7.8 б).