
- •Академия управления «тисби»
- •Тема 3. Временные и частотные характеристики динамических звеньев сау 26
- •Тема 4. Типовые динамические звенья и их характеристики 33
- •Тема 7. Устойчивость линейных непрерывных сау 75
- •Тема 8. Оценка качества управления и синтез непрерывных сау 97
- •1.2. Классификация сау по принципу действия
- •1.2.1. Незамкнутые сау
- •1.2.2. Замкнутые сау
- •1.3. Классификация сау по характеру изменения задающего воздействия
- •1.4. Классификация систем автоматического регулирования по величине установившейся ошибки
- •1.5. Классификация сау по их математическому описанию
- •1.6. Классификация задач теории автоматического управления
- •Тема 2. Математическая модель непрерывной линейной сау
- •2.1. Линеаризация уравнений
- •2.2. Передаточные функции
- •2.2.1. Символическая запись дифференциальных уравнений и передаточных функций
- •2.2.2. Определение передаточных функций через изображения Лапласа
- •Уравнение (2.25) можно записать как и уравнение (2.11) в виде
- •Тема 3. Временные и частотные характеристики динамических звеньев сау
- •3.1. Общие понятия
- •3.2. Временные характеристики
- •3.3. Частотная передаточная функция и частотные характеристики
- •3.4. Логарифмические частотные характеристики
- •Тема 4. Типовые динамические звенья и их характеристики
- •4.1. Типовые динамические звенья первого порядка
- •4.1.1. Усилительное звено
- •4.1.2. Идеальное дифференцирующее звено
- •4.1.3. Дифференцирующее звено первого порядка
- •4.1.4. Интегрирующее звено
- •4.1.5. Апериодическое (инерционное) звено
- •4.2. Типовые динамические звенья второго порядка
- •4.2.1. Колебательное звено Колебательное звено имеет передаточную функцию
- •4.2.2. Дифференцирующее звено второго порядка
- •4.3. Запаздывающее звено Уравнение запаздывающего звена(4.74)
- •Тема 5. Структурные схемы непрерывных сау
- •5.1. Общие понятия о структурной схеме
- •5.2. Преобразование структурных схем
- •5.3. Обобщенная структурная схема и передаточные функции сау
- •5.4. Приближенный способ построения логарифмических частотных характеристик одноконтурных систем
- •Тема 6. Метод переменных состояния. Управляемость и наблюдаемость непрерывных сау
- •6.2. Управляемость и наблюдаемость
- •Тема 7. Устойчивость линейных непрерывных сау
- •7.1. Основные понятия об устойчивости
- •7.2. Общая характеристика критериев устойчивости
- •7.3. Критерий устойчивости Гурвица
- •7.4. Принцип аргумента
- •7.5. Критерий устойчивости Найквиста
- •Сделаем подстановкув выражение для:
- •7.6. Пример определения устойчивости системы по критерию Найквиста
- •Модуль частотной передаточной функции разомкнутой системы
- •7.7. Определение устойчивости по логарифмическим частотным характеристикам
- •7.8. Запас устойчивости
- •Тема 8. Оценка качества управления и синтез непрерывных сау
- •8.2. Теорема о конечном значении
- •8.3. Точность в типовых режимах
- •Задающее воздействие принимается изменяющимся по закону
- •8.4. Определение запаса устойчивости и быстродействия по переходной характеристике
- •8.5. Оценка качества переходного процесса по логарифмическим частотным характеристикам разомкнутой системы
- •8.6. Синтез систем автоматического управления
- •8.6.1. Общие понятия
- •8.6.2. Этапы синтеза методом лах
- •Тема 9. Математическая модель импульсного элемента
- •9.1. Общие сведения об импульсных системах
- •9.2. Вывод уравнений импульсного элемента
- •Тема 10. Разностные уравнения импульсных систем
- •10.2. Решение разностных уравнений
- •10.3. Составление разностных уравнений импульсной системы
- •Тема 11.Дискретное преобразование Лапласа и передаточные функции импульсных систем
- •11.1. Понятие о z-преобразовании
- •11.2. Определение передаточных функций импульсной системы.
- •Тема 12. Устойчивость и оценка качестваимпульсных систем
- •12.1. Исследование устойчивости по корням характеристического уравнения
- •12.2. Частотный критерий Найквиста
- •12.3. Оценка качества импульсных систем
- •Тема 13. Цифровые системы
- •13.1. Общие сведения
- •13.2. Синтез цифровых систем
- •13.3. Использование микропроцессорных средств в цифровых системах
- •Список литературы
7.2. Общая характеристика критериев устойчивости
Критериями устойчивости называют правила, которые позволяют определить устойчивость системы без вычисления корней характеристического уравнения.
Критерии устойчивости можно разбить на две группы: алгебраические и частотные. К алгебраическим критериям относят критерий устойчивости Рауса и критерий устойчивости Гурвица. Эти критерии для систем, описываемых дифференциальными уравнениями выше 4-й степени, дают лишь возможность определить, устойчива ли система. Но их применение для определения изменения параметров системы с тем, чтобы сделать ее устойчивой, затруднительно.
Частотные критерии могут быть разделены на две подгруппы:
1. Исследуется непосредственно замкнутая система (критерий устойчивости Михайлова).
2. Об устойчивости замкнутой системы судят по частотным характеристикам разомкнутой системы (критерий устойчивости Найквиста).
Достоинством частотных критериев является наглядность и возможность использования частотных характеристик, полученных экспериментально. Во многих случаях частотные критерии устойчивости дают представление о качестве процесса регулирования.
7.3. Критерий устойчивости Гурвица
Этот критерий был сформулирован в 1895 году математиком А. Гурвицем.
Для характеристического уравнения (7.16) составим квадратную матрицу коэффициентов, содержащую nстрок иnстолбцов:
(7.22)
Эта матрица составляется следующим образом.
По диагонали от левого верхнего до
правого нижнего углов записывают все
коэффициенты по порядку от
до
.
Каждая строка дополняется коэффициентами
с нарастающими индексами слева направо
так, чтобы чередовались строки с нечетными
и четными индексами. В случае отсутствия
коэффициента, а также, если индекс его
должен быть меньше нуля или больше n,
на соответствующем месте в матрице
(7.22) пишут нуль.
Критерий устойчивости сводится к тому,
что при
должны быть больше нуля всеnопределителей Гурвица, получаемых из
квадратной матрицы коэффициентов.
Обозначим определители Гурвица символами
Индексы определителей Гурвица указывают их порядок, а также индекс диагонального коэффициента матрицы (7.22), который занимает место в правом нижнем углу соответствующего определителя Гурвица.
Условия устойчивости по критерию Гурвица записываются в виде:
;
….;
Последний определитель включает в себя
всю матрицу. Но так как в последнем
столбце матрицы все элементы, кроме
нижнего, равны нулю, то последнее
неравенство запишем в виде:
Так как предыдущее неравенство имеет
вид
то условие положительности определителя
,
сводится к условию
Таким образом, критерий Гурвица
формулируется следующим образом: для
того, чтобы система была устойчива,
необходимо и достаточно, чтобы при
определители Гурвица
были положительными.
Необходимые, но недостаточные, условия
устойчивости заключаются в том, что в
случае уравнения n-го
порядка все коэффициентыдолжны быть положительны и ни один из
них не должен равняться нулю.
7.4. Принцип аргумента
Рассмотрим алгебраическое уравнение
n-й степени с
действительными коэффициентами:
Если через
обозначить корни этого уравнения, то
многочлен
можно представить в виде произведения
простых сомножителей:
На комплексной плоскости
каждому корню соответствует вполне
определенная точка. Геометрически
каждый корень
можно изобразить в виде вектора,
проведенного из начала координат к
точке (
где
- вещественная часть корня
,
а
- мнимая (рис. 7.1 а).
Если положить
в
то
(7.23)
Изобразим
на комплексной плоскости элементарный
вектор
(рис. 7.1 б). Этот вектор
является разностью двух векторов:
вектора
и
вектора
Концы элементарных векторов
находятся на мнимой оси в точке
,
а начала – в точках с координатами
.
При измененииот 0 доконцы векторов
скользят по мнимой оси, а векторы
при этом поворачиваются. Направление
вращения вектора против часовой стрелки
с ростом
принимают за положительное. Если начало
вектора
лежит в левой части комплексной плоскости
(вещественная часть корняiотрицательная), то при измененииот 0 довектор
вращается в положительную сторону и
изменение его аргумента
Для всех корней
Начальные значения аргументов векторов
различны в зависимости от четырёх
возможных вариантов расположения корней
на комплексной плоскости (рис. 7.2).
Найдем изменение аргумента элементарных
векторов
при измененииот 0 до
для приведённых на рис.7.2 вариантов
расположения корней.
Вариант 1. Вещественный корень в левой части КП.
Вариант 2. Вещественный корень в правой части КП.
Вариант 3. Пара комплексно-сопряженных корней в левой части КП.
Векторы
и
запишем в показательной форме:
,
где
В выражении для полинома
векторы
и
являются сомножителями. Запишем формулу
для произведения векторов
и
:
Найдем изменение аргумента произведения
векторов
и
при измененииот 0 до
:
.
Вариант 4.Пара комплексно-сопряженных корней в правой части КП.
По аналогии вариантом 3 найдем изменение
аргумента произведения векторов
и
при измененииот 0 до
:
.
Запишем выражение для вектора
(см. (7.23)).
Аргумент (или фаза) вектора
равен сумме аргументов элементарных
векторов:
Предположим, что уравнение
=0
имеетmкорней в правой
части КП и, следовательно,n-mкорней в левой части КП. Пусть при этомqправых корней иrлевых корней – вещественные. Тогда в
правой части КП количество пар
комплексно-сопряженных корней будет
равно (m-q)/2
а в левой (n-m-r)/2
При возрастанииот 0 до
изменение аргумента вектора
или угол поворота
будет
Если все корни уравнения
=0
находятся в левой части КП, то