4.1.5. Апериодическое (инерционное) звено

Апериодическое звено имеет передаточную функцию

, (4.25)

где k– передаточный коэффициент,T– постоянная времени.

Уравнение апериодического звена получим из (4.1) при

(4.26)

где

В качестве примера апериодического звена рассмотрим RC– цепочку (рис. 4.6). Входная величинаRC–цепочки – напряжениеU₁, выходная – напряжениеU₂. По второму закону Кирхгофа

(4.27)

где

Выразим ток через напряжение на конденсаторе:

. (4.28)

Если исключить промежуточные переменные iиU_R, то уравнение (4.27) примет вид

(4.29)

который совпадает с (4.26) при k=1 иT=RC.

Запишем дифференциальное уравнение апериодического звена (4.26) в виде

(4.30)

Решим уравнение (4.30) методом интегрирующего множителя, задав начальное условие и полагая, что входное воздействиепроизвольная функция времени. Умножим правую и левую части уравнения (4.30) на вспомогательную функцию

(4.31)

Подберем функцию таким образом, чтобы в левой части уравнения (4.31) получилась производная от произведения

Для этого должно выполняться условие

(4.32)

Решим уравнение (4.32) как дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

(4.33)

Подставив решение (4.33) в уравнение (4.31) и сократив последнее на получим:

(4.34)

С учетом начального условия окончательно получим решение в виде

(4.35)

где t^’- переменная интегрирования.

Это полное решение уравнения (4.30) при произвольном воздействии. В нем можно выделить две составляющие: первая, зависящая от начального условия, является свободной составляющей; вторая носит название вынужденной составляющей. Используем решение (4.35) для получения переходной и весовой функций.

Характеристики звена:

а) Переходную функцию определяем при нулевом начальном условии и входном воздействии

(4.36)

б) Прежде, чем найти весовую функцию, остановимся на одном важном свойстве функции, которое называют фильтрующим. Рассмотрим интеграл от произведенияфункции на гладкую функцию:

(4.37)

Функция Примем, что импульспоявляется в момент времениа заканчивается в момент временигде- бесконечно малая величина. С учётом этого запишем интеграл (4.37) как сумму трёх интегралов:

(4.38)

Первый и третий интегралы в выражении (4.38) равны нулю в силу условия а во втором интеграле:

(4.39)

Таким образом, получим, что интеграл от произведения гладкой функции на функциюравен значению функциив момент времени существованияфункции. Множительв выражении (4.39) отражает зависимость интеграла от времени.

Весовую функцию апериодического звена ищем при нулевом начальном условии и входном воздействии При подстановке входного воздействия в решение (4.35) запишем его в виде:

(4.40)

Применим к решению (4.40) фильтрующее свойство функции:

(4.41)

Сравнивая выражение (4.41) с общим решением дифференциального уравнения апериодического звена (4.35), запишем последнее в виде:

(4.42)

Интеграл вида (4.42) называется интегралом свертки функций иГрафики переходной и весовой функций апериодического звена приведены на рис. 4.7.

г) Частотные характеристики апериодического звена могут быть получены из выражения для частотной передаточной функции

(4.43)

где

АФХ апериодического звена при изменении частоты от 0 допредставляет собой полуокружность, диаметр которой равен передаточному коэффициентуk(рис. 4.8). При частотахвыходная величина отстаёт от входной на 90⁰.

д) Уравнение ЛАХ:(4.44)

Сравнивая выражение (4.44) с уравнением ЛАХ дифференцирующего звена 1-ого порядка (4.15), можно сделать вывод, что ЛАХ апериодического звена есть зеркальное отображение ЛАХ дифференцирующего звена 1–ого порядка относительно горизонтальной асимптоты ЛФХ апериодического звена есть зеркальное отображение ЛФХ дифференцирующего звена 1 – ого порядка относительного оси частот.

На рис. 4.9 приведены графики ЛАХ и ЛФХ апериодического звена для случая k=10 в зависимости от нормированной частотыгдесопрягающая частота.