лаба5

МИНИСТЕРСТВО ЦИФРОВОГО РАЗВИТИЯ, СВЯЗИ И МАССОВЫХ КОММУНИКАЦИЙ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Ордена Трудового Красного Знамени федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Московский технический университет связи и информатики»

Кафедра «Информатика»

Лабораторная работа №5

«Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений»

Выполнил: ---------------------------------------------

Проверил:

Москва, 2023 г.

Индивидуальное задание к работе

№	Уравнение				a
8	y' = (x – 1)2 y2	0	-1	0.5	0	5

где – дифференциальное уравнение

[a, b]– интервал, где ищется решение дифференциального уравнения

, – начальные условия

– шаг интегрирования

Выполнение задания:

Решение ОДУ аналитическим методом

Найдем точное аналитическое решение заданного дифференциального уравнения методом разделения переменных. Для этого запишем уравнение в виде и проинтегрируем с учетом начальных условий

Вычислим значения полученного решения y(x_i) на отрезке [0;5] с шагом изменения аргумента h=0.5:

xi	y(xi)
0	0
0.5	0.5906
1	1
1.5	1.68
2	3.25
2.5	11.94
3	-10.14
3.5	-3.956
4	-2.58
4.5	-1.98
5	-1.64

Решение ОДУ методом Эйлера

Вычислим значение численного решение ОДУ методом Эйлера в точках отрезка [1;2] с шагом h=0.2. Общая формула для определения очередного значения функции по методу Эйлера , где

x₀ = 0, y₀ = -1 (начальные условия)

- x₁ = 1.2, y₁ = y₀ + h*f(x₀, y₀) = 1 + 0.2*(1^2)/1 = 1.2

- x₂ = 1.4, y₂ = y₁ + h*f(x₁, y₁) = 1.2 + 0.2*(1.2^2)/1.2

- x₃ = 1.6, y₃ = y₂ + h*f(x₂, y₂) = 1.44 + 0.2*(1.44^2)/1.6

- x₄ = 1.8, y₄ = y₃ + h*f(x₃, y₃) = 1.698 + 0.2*(1.698^2)/1.8

- x₅ = 2.0, y₅ =y₄+ h*f(x₄, y₄) = 2.01 + 0.2*(2.01^2)/2

xi	y(xi)
1	1
1.2	1.222
1.4	1.507
1.6	1.8868
1.8	2.4259
2.0	3.258

xi
1	1
1.2	1.2
1.4	1.44
1.6	1.736
1.8	2.113
2.0	2.609

Вычислим значение погрешностей для

xi	Ei
1	0
1.2	0.0222
1.4	0.067
1.6	0.1508
1.8	0.3129
2.0	0.649

Решение ОДУ методом Рунге-Кутта 4-го порядка

Вычислим в программе значения численного решения ОДУ с точностью 10^-4, и получим решение в точках отрезка [1;2]с шагом h=0.2 ( ) методом Рунге-Кутта 4-го порядка, используя формулы:

где

xi	y(xi)
1	1
1.2	1.222
1.4	1.507
1.6	1.8868
1.8	2.4259
2.0	3.258

xi
1	1
1.2	1.222957
1.4	1.511
1.6	1.886795
1.8	2.425903
2.0	3.258821

Вычислим в сценарии значения погрешностей

xi
1	1
1.2	0
1.4	0.004
1.6	0.000
1.8	0.000
2.0	0.000

Сделаем сводку решений ОДУ всеми методами в одну таблицу.

xi	y(xi)		Ei
1	1	1	0	1	1
1.2	1.222	1.2	0.0222	1.22	0
1.4	1.507	1.44	0.067	1.511	0.004
1.6	1.8868	1.736	0.1508	1.886795	0.000
1.8	2.4259	2.113	0.3129	2.425903	0.000
2.0	3.258	2.609	0.649	3.258821	0.000

Решение ОДУ с помощью языка программирования C++

#include <iostream>

#include <vector>

#include <cmath>

double f(double x, double y) {

return pow((x - 1), 2) * pow(y, 2);

}

std::vector<std::pair<double, double>> Euler(double x0, double y0, double h, double a, double b) {

double x = x0;

double y = y0;

std::vector<std::pair<double, double>> result = { {x, y} };

while (x < b) {

double y_new = y + h * f(x, y);

x += h;

y = y_new;

result.push_back({ x, y });

}

return result;

}

int main() {

double x[] = { 0, 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5, 3, 3.5, 4, 4.5, 5 };

double y[11];

for (int i = 0; i < 11; i++) {

y[i] = -1 / (log(fabs(x[i])) - 1);

}

for (int i = 0; i < 11; i++) {

std::cout << "x = " << x[i] << ", y = " << y[i] << std::endl;

}

std::vector<std::pair<double, double>> result = Euler(0, -1, 0.5, 0, 5);

for (auto& p : result) {

std::cout << "x = " << p.first << ", y = " << p.second << std::endl;

}

return 0;

}

Вывод

Выполняя эту лабораторную работу, мы изучили методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений и рассчитали погрешности. При выполнении ручного расчета ОДУ результаты совпали с машинным вычислением.