лаба2
.docxМИНИСТЕРСТВО ЦИФРОВОГО РАЗВИТИЯ, СВЯЗИ И МАССОВЫХ КОММУНИКАЦИЙ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Ордена Трудового Красного Знамени федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Московский технический университет связи и информатики»
Кафедра «Информатика»
Лабораторная работа №2
«Интерполяция функций»
Выполнил: ---------------------------------------------
Проверил:
Москва, 2023 г.
По таблице индивидуального задания определяем точку интерполяции для формулы Ньютона x = a = 0.46.
Далее необходимо подобрать 4 узла из предложенной таблицы так, что точка a = 0.46 оказалась внутри таблицы, и узлы были наиболее близки к этой точке. В таблице 1 представлены выбираемые узлы.
7 |
0.40 |
-3.6320 |
8 |
0.45 |
-3.4890 |
9 |
0.50 |
-3.3250 |
10 |
0.55 |
-3.1385 |
Изменим нумерацию узлом интерполяции для использования их в интерполяционных формулах и занесем в таблицу 2.
k |
0 |
1 |
2 |
3 |
xk |
0.40 |
0.45 |
0.50 |
0.55 |
yk |
-3.6320 |
-3.4890 |
-3.3250 |
-3.1385 |
Таблица 2 – Перенумерованные узлы
|
x |
Y |
Δy |
|
|
0 |
0.40 |
-3.6320 |
0.143 |
0,021 |
0,0015 |
1 |
0.45 |
-3.4890 |
0,164 |
0,0225 |
|
2 |
0.50 |
-3.3250 |
0.1865 |
|
|
3 |
0.55 |
-3.1385 |
|
|
|
Таблица 3 – Конечные разницы
Запишем 1–ю интерполяционную формулу Ньютона для полиномов 1–й, 2–й и 3–й степени и выполним расчеты по ним.
Определим значение q:
Значение полинома 1-й степени в т. x=0,46:
Значение полинома 2-й степени в т. x=0.46:
Значение полинома 3-й степени в т. x=0,46:
Найдем явные выражения для полиномов 1, 2 и 3 степени по формуле:
Тогда:
-4.2+0.5x+1.5
+2
Занесем результаты в таблицу 4 и вычислим оценки погрешности полученных значений для полиномов 1–й и 2–й степени:
Занесем результаты в таблицу 4 и вычислим оценки погрешности полученных значений для полиномов 1–й и 2–й степени:
Степень многочлена k |
Rk(x) |
Оценка погрешности |
1 |
|
0.00252 |
2 |
|
0.000048 |
3 |
|
– |
Таблица 4 – Оценка погрешностей
Вывод: Получены выражения для интерполяционных многочленов 1, 2 и 3-ей степени и их значения в точке а. Можно утверждать, что разность между точным (неизвестным) значением функции и значением интерполяционного полинома в точке x=0.46 после 3-х итераций не превышает 0,001.
Полином Лагранжа
Из таблицы индивидуального задания выбираем точку интерполяции для интерполяции полиномом Лагранжа: x=b=0.87.
Далее необходимо подобрать 4 узла из предложенной таблицы так, что точка b=0.87 оказалась внутри таблицы, и узлы были наиболее близки к этой точке. В таблице 5 представлены выбираемые узлы.
15 |
0.80 |
-1.8160 |
16 |
0.85 |
-1.4630 |
17 |
0.90 |
-1.0770 |
18 |
0.95 |
-0.6565 |
Таблица 5 – Выбранные узлы
Перенумеруем узлы интерполяции и занесем их в таблицу 6.
k |
0 |
1 |
2 |
3 |
xk |
0.80 |
0.85 |
0.90 |
0.95 |
yk |
-1.8160 |
-1.4630 |
-1.0770 |
-0.6565 |
Таблица 6 – Перенумерованные узлы
Найдем явные выражения для полиномов 1, 2 и 3 степени:
Занесем результаты в таблицу 6 и вычислим оценки погрешности полученных значений для многочленов 1–й и 2–й степени:
Степень многочлена k |
Lk(x) |
Оценка погрешности |
1 |
|
0.00924 |
2 |
|
0.000084 |
3 |
|
- |
Таблица 7 – Оценка погрешностей
Вывод: Получены выражения для интерполяционных полиномов 1, 2 и 3-ей степени и их значения в точке b.