лекции 1 курс
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®í⮬ã, ¥á«¨ z 6= 0, â® ¨¬¥¥âáï n à §«¨çëå ª®à¥© á⥯¥¨ n ¨§ 1. ç áâ®áâ¨, ¥á«¨ z = 1, â® m-ë© ª®à¥ì ¨§ 1 ¨¬¥¥â ¢¨¤
"m = cos |
2 m |
+ i sin |
2 m |
: |
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n |
n |
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ᥠí⨠ª®à¨ à ᯮ«®¦¥ë ¢ ¢¥àè¨ å ¯à ¢¨«ì®£® n-㣮«ì¨ª , ¢¯¨á ®£® ¢ ¥¤¨¨ç- ãî ®ªà㦮áâì á æ¥â஬ ¢ 0.
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5. |
6
à㯯ë, ª®«ìæ ¨ ¯®«ï
í⮩ £« ¢¥ ¨§ãç îâáï ®á®¢ë¥ ¯®ïâ¨ï ⥮ਨ £à㯯.
1.à㯯ë, ¯®¤£à㯯ë, ¯®à浪¨ í«¥¬¥â®¢
¯®¬¨¬ ¥ª®â®àë¥ ¥®¡å®¤¨¬ë¥ ®¯à¥¤¥«¥¨ï.
¯à¥¤¥«¥¨¥ 6.1. ®¦¥á⢮ G á ¡¨ ன ®¯¥à 樥© 㬮¦¥¨ï xy §ë¢ ¥âáï
£à㯯®©, ¥á«¨
(1)㬮¦¥¨¥ áá®æ¨ ⨢®, â. ¥. (xy)z = x(yz) ¤«ï ¢á¥å x; y; z 2 G;
(2)áãé¥áâ¢ã¥â â ª®© í«¥¬¥â 1 2 G, §ë¢ ¥¬ë© ¥¤¨¨æ¥© G, çâ® x1 = 1x = x ¤«ï ¢á¥å x 2 G;
(3)¤«ï «î¡®£® í«¥¬¥â x 2 G ©¤¥âáï â ª®© í«¥¬¥â x 1, §ë¢ ¥¬ë© ®¡à âë¬ ª x; çâ® xx 1 = x 1x = 1.
¯à¥¤¥«¥¨¥ 6.2. ®à浪®¬ £à㯯ë G §ë¢ ¥âáï ç¨á«® jGj í«¥¬¥â®¢ ¢ G.
।«®¦¥¨¥ 6.3. ¤¨¨çë© í«¥¬¥â ¢ £à㯯¥ ¥¤¨á⢥¥. «ï ª ¦¤®£® í«¥- ¬¥â x 2 G ®¡à âë© í«¥¬¥â x 1 ®¯à¥¤¥«¥ ®¤®§ ç®. ஬¥ ⮣®, ¥á«¨ x 2
G; â® (x 1) 1 = x.
¯à¥¤¥«¥¨¥ 6.4. ¥¯ãá⮥ ¯®¤¬®¦¥á⢮ H ¢ £à㯯¥ G §ë¢ ¥âáï ¯®¤£à㯯®©,
¥á«¨ ¢¬¥áâ¥ á «î¡ë¬¨ ¤¢ã¬ï ¥£® í«¥¬¥â ¬¨ ®® ᮤ¥à¦¨â ¨å ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥, ¨ á ª ¦¤ë¬ ᢮¨¬ í«¥¬¥â®¬ H ᮤ¥à¦¨â ¥£® ®¡à âë©.
।«®¦¥¨¥ 6.5. ᫨ H { ¯®¤£à㯯 ¢ £à㯯¥ G ¨ 1 { ¥¤¨¨çë© í«¥¬¥â G, â®
1 2 H.
¯à ¦¥¨¥ 6.6. ¯à®¨§¢®«ì®© £à㯯¥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ «î¡®£® ç¨á« í«¥¬¥â®¢ ¥ § ¢¨á¨â ®â à ááâ ®¢ª¨ ᪮¡®ª.
।«®¦¥¨¥ 6.7. «ï ¥¯ãá⮣® ¯®¤¬®¦¥á⢠H ¢ £à㯯¥ G á«¥¤ãî騥 ãá«®¢¨ï íª¢¨¢ «¥âë:
(1)H ï¥âáï ¯®¤£à㯯®© ¢ G;
(2)¥á«¨ x; y 2 H; â® xy 1 2 H.
®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì ¢ë¯®«¥® ãá«®¢¨¥ (1), ¨ x; y 2 H. ᨫ㠮¯à¥¤¥«¥¨ï 6.4 ¯®«ãç ¥¬ x; y 1 2 H, ®âªã¤ xy 1 2 H, â. ¥. ¢ë¯®«¥® ãá«®¢¨¥ (2).
¡à â®, |
¯ãáâì ¢ë¯®«¥® ãá«®¢¨¥ (2), ¨ y 2 H. ®£¤ y; y 2 H, ®âªã¤ 1 = yy 1 2 H |
|||
¯® (2). «¥¥ |
1; y 2 H, ®âªã¤ |
y 1 = 1y 1 2 H ¯® (2). ª®¥æ, ¥á«¨ x; y 2 H, â® x; y 1 2 H |
||
¯® ¤®ª § ®¬ã ¢ëè¥. âáî¤ |
x(y 1) 1 = xy |
2 |
H ¯® ¯à¥¤«®¦¥¨î 6.3. |
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ਬ¥àë 6.8. ਢ¥¤¥¬ ¯à¨¬¥àë £à㯯 ¨ ¨å ¯®¤£à㯯:
(1)£à㯯 Sn ᮤ¥à¦¨â ¯®¤£à㯯ë An; Sn 1;
(2)£à㯯 GL(n; C) ᮤ¥à¦¨â ¯®¤£à㯯ë
GL(n; R); GL(n; Q); SL(n; C); SL(n; R);
(3) £à㯯 ᮤ¥à¦¨â ¯®¤£à㯯ã Un = fz 2 Cjzn = 1g.
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34 |
6. , |
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¯à ¦¥¨¥ 6.9. ãáâì |
1 0 |
i |
0 |
2 |
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C |
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0 i |
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I = i 0 |
; J = 0 1 ; K = |
0 |
i |
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SL(2; |
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): |
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®ª § âì, çâ® |
IJ = K; JK = I; KI = J; JI = K; KJ = I; IK = J; |
||||||||
(1) I2 = J2 = K2 = E; |
|||||||||
(2) 8 ¬ âà¨æ E; I; J K ®¡à §ãîâ ¯®¤£à㯯㠪¢ â¥à¨®®¢ Q8 ¢ £à㯯¥ SL(2; C): |
|||||||||
¯à ¦¥¨¥ 6.10. ᫨ Hi; i 2 I { ¯®¤£àã¯¯ë £à㯯ë G; â® |
\i2I Hi |
{ ¯®¤£à㯯 |
|||||||
£à㯯ë G. |
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¯à¥¤¥«¥¨¥ 6.11. ãáâì Zn = f0; 1; : : : ; n 1g. ®£¤ |
Zn { £à㯯 . |
§ë¢ ¥âáï |
|||||||
£à㯯®© ¢ëç¥â®¢ ¯® ¬®¤ã«î n. |
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।«®¦¥¨¥ 6.12. ¯à¥¤¥«¥¨¥ £à㯯ë Zn ª®à४â®.
¯à¥¤¥«¥¨¥ 6.13. ãáâì a { í«¥¬¥â £à㯯ë G. «ï ¯à®¨§¢®«ì®£® 楫®£® ç¨á« n
¯®«®¦¨¬ |
n |
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81; |
a a ; |
¥á«¨ n > 0; |
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a |
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= |
> |
¬®¦¨â¥«¥© |
¥á«¨ n = 0; |
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n) |
1 |
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¥á«¨ n < 0: |
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: |
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2 Z |
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।«®¦¥¨¥ 6.14. ãáâì a { í«¥¬¥â ¥ª®â®à®© £àã¯¯ë ¨ n; m |
|
. ®£¤ |
an+m = anam; (an)m = anm:
¯à¥¤¥«¥¨¥ 6.15. ãáâì a { í«¥¬¥â ¥ª®â®à®© £à㯯ë. ®à浪®¬ jaj (¨«¨ o(a)) í«¥¬¥â a §ë¢ ¥âáï â ª®¥ ¨¬¥ì襥 âãà «ì®¥ ç¨á«® n; çâ® an = 1: ᫨ â ª®£® ç¨á« n ¥â, â® £®¢®àïâ, çâ® ¯®à冷ª a à ¢¥ ¡¥áª®¥ç®áâ¨.
।«®¦¥¨¥ 6.16. ãáâì jaj = n < 1; ¨ m 2 Z. «¥¤ãî騥 ãá«®¢¨ï íª¢¨¢ - «¥âë:
(1)njm (n ¤¥«¨â m);
(2)am = 1.
¯à¥¤¥«¥¨¥ 6.17. ãáâì a 2 G. ¥à¥§ hai ®¡®§ 稬 ¬®¦¥á⢮ fanjn 2 Zg ¢á¥å á⥯¥¥© í«¥¬¥â a.
¯à ¦¥¨¥ 6.18. hai ï¥âáï ¯®¤£à㯯®© ¢ G.
¯à¥¤¥«¥¨¥ 6.19. ãáâì a 2 G. ®¤£à㯯 hai §ë¢ ¥âáï 横«¨ç¥áª®© ¯®¤£à㯯®© ¢ £à㯯¥ G, ¯®à®¦¤¥®© í«¥¬¥â®¬ a. à㯯 G §ë¢ ¥âáï 横«¨ç¥áª®© á ¯®à®¦¤ î騬 (®¡à §ãî騬) í«¥¬¥â®¬ a; ¥á«¨ hai = G.
ਬ¥àë 6.20. ®ª § âì, çâ®
(1)£à㯯 Z ï¥âáï 横«¨ç¥áª ï á ¯®à®¦¤ î騬 í«¥¬¥â®¬ 1 (¨«¨ -1);
(2)£à㯯 Un ª®¬¯«¥ªáëå ª®à¥© n-®© á⥯¥¨ ¨§ 1 ï¥âáï 横«¨ç¥áª®© £à㯯®© á ¯®à®¦¤ î騬 í«¥¬¥â®¬
exp 2ni = cos 2ni + i sin 2ni;
(3)£à㯯 Zn ¢ëç¥â®¢ ¯® ¬®¤ã«î n ï¥âáï 横«¨ç¥áª®© £à㯯®© á ¯®à®¦¤ î騬 í«¥¬¥â®¬ 1.
।«®¦¥¨¥ 6.21. ãáâì a { í«¥¬¥â ¥ª®â®à®© £à㯯ë. ®£¤ jhaij = jaj:
1. , , |
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|||
®ª § ⥫ìá⢮. ᫨ ar = am ¯à¨ ¥ª®â®àëå r < m, â® |
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am r = 1; ¨ a |
= n < |
1 |
: |
|
j j |
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í⮬ á«ãç ¥
hai = f1; a; a2; : : : ; an 1g:
¡®§ 票¥ 6.22. ᫨ jaj = n ¢ ãá«®¢¨¨ ¯à¥¤«®¦¥¨ï 6.21, ⮠横«¨ç¥áªãî £à㯯ã, ¯®à®¦¤¥ãî í«¥¬¥â®¬ a, ¬ë ¡ã¤¥¬ ®¡®§ ç âì hain.
¥®à¥¬ 6.23. ®¤£à㯯 横«¨ç¥áª®© £à㯯ë á ¬ ï¥âáï 横«¨ç¥áª®©.
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H |
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G = hm i |
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®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì |
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{ ¯®¤£à㯯 |
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横«¨ç¥áª®© £à㯯ë |
|
a . ᫨ H = 1, |
||||||||||||||||||
â® ã⢥ত¥¨¥ ®ç¥¢¨¤®. ãáâì H ᮤ¥à¦¨â ¥¥¤¨¨çë© í«¥¬¥â a |
; m 6= 0. ᫨ |
|||||||||||||||||||||||
m < 0, â® H ᮤ¥à¦¨â ¨ í«¥¬¥â a m; |
|
m > 0. 롥६ â ª®¥ ¨¬¥ì襥 âãà «ì®¥ |
||||||||||||||||||||||
ç¨á«® m, çâ® b = a |
m |
2 H. |
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r |
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᫨ a |
2 H; r 2 Z, â®, ¤¥«ï r á ®áâ ⪮¬ m, ¯®«ãç ¥¬ |
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r = sm + q; 0 q < m. ਠí⮬ ¯® ¯à¥¤«®¦¥¨î 6.14 |
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aq = ar sm = ar(am) s 2 H; |
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çâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ¢ë¡®àã m, ¥á«¨ q > 0. |
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«¥¤á⢨¥ 6.24. ãáâì m1; : : : ; mn 2 Z, ¨ d { |
ç¨á¥« m1; : : : ; mn. ®£¤ |
áãé¥áâ- |
||||||||||||||||||||||
¢ãîâ â ª¨¥ æ¥«ë¥ ç¨á« u1; : : : ; un 2 Z, çâ® m1u1 + + mnun = d. |
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|||||||||||||||||||
®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì H = Zm1 + + Zmn. ®£¤ |
H { ¯®¤£à㯯 ¢ Z, ¨, á«¥¤®- |
|||||||||||||||||||||||
¢ ⥫ì®, H = Zd. áâ ¥âáï ã¡¥¤¨âìáï, çâ® d = (m1; : : : ; mn). |
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||||||||||||||||||
¥®à¥¬ 6.25. ãáâì G = hain ¨ H { ¯®¤£à㯯 d |
¢ G. ®£¤ áãé¥áâ¢ã¥â ¨ ¯à¨â®¬ |
|||||||||||||||||||||||
¥¤¨á⢥®¥ â ª®¥ ç¨á«® |
d |
, ¤¥«ï饥 |
n |
, çâ® |
H = ha |
n |
: |
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id |
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®ª § ⥫ìá⢮. ® ⥮६¥ 6.23 ¯®«ãç ¥¬ H = |
h |
ak |
i |
¤«ï ¥ª®â®à®£® 0 |
|
k < n. |
||||||||||||||||||
®«®¦¨¬ d = (n; k). áâ ¥âáï § ¬¥â¨âì, çâ® H = hadi: |
|
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|
n |
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«¥¤á⢨¥ 6.26. ãáâì a 2 G ¨¬¥¥â ¯®à冷ª n. ®£¤ |
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jakj = |
: |
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(n; k) |
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®ª § ⥫ìá⢮. d |
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G = hai |
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k |
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n |
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k |
i |
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H = ha |
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®¦® áç¨â âì, çâ® |
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. áᬮâਬ ¯®¤£à㯯ã |
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G. ® ⥮६¥ 6.25 H = ha i, £¤¥ d = (n; k). âáî¤ ja j = jHj = d : |
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||||||||||||||||||
«¥¤á⢨¥ 6.27. ãáâì G = hain. «¥¬¥â ak ï¥âáï ¯®à®¦¤ î騬 ¢ G ⮣¤ |
||||||||||||||||||||||||
¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ |
(k; n) = 1. |
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¯à ¦¥¨¥ 6.28. ¯¨á âì ¢á¥ ¯®¤£àã¯¯ë ¢ hai12.
¯à¥¤¥«¥¨¥ 6.29. ¨¥ªâ¨¢®¥ ®â®¡à ¦¥¨¥ £à㯯 f : G ! H §ë¢ ¥âáï ¨§®¬®à- 䨧¬®¬, ¥á«¨ f(xy) = f(x)f(y) ¤«ï ¢á¥å x; y 2 G. ¡®§ 票¥ '.
ਬ¥à 6.30. (R; +) ' (R>0; ). ª ç¥á⢥ f ¢§ïâì exp.
।«®¦¥¨¥ 6.31. ¨ª«¨ç¥áª ï £à㯯 ¯®à浪 n ¨§®¬®àä Un. ¥áª®¥ç ï 横- «¨ç¥áª ï £à㯯 ¨§®¬®àä Z.
®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì G = hain. ¤ ¤¨¬ f : G ! Un, ¯®« £ ï f(ak) = exp(2ni):
᫨ G = hai1, â® ®¯à¥¤¥«¨¬ f : G ! Z, ¯®« £ ï f(ak) = k.
«¥¤á⢨¥ 6.32. Zn ' Un.
36 |
6. , |
2. ¬¥¦ë¥ ª« ááë ¨ ⥮६ £à ¦
¯à¥¤¥«¥¨¥ 6.33. ãáâì H { ¯®¤£à㯯 ¢ £à㯯¥ G, ¨ g 2 G. ¥¢ë¬ ᬥ¦ë¬ ª« áᮬ gH §ë¢ ¥âáï ¯®¤¬®¦¥á⢮ fghjh 2 Hg ¢ G.
¯à ¦¥¨¥ 6.34. ©â¨
(1)«¥¢ë¥ ᬥ¦ë¥ ª« ááë GL(n; C) ¯® SL(n; C);
(2)«¥¢ë¥ ᬥ¦ë¥ ª« ááë Z ¯® nZ;
(3)«¥¢ë¥ ¨ ¯à ¢ë¥ ᬥ¦ë¥ ª« ááë Sn ¯® Sn 1.
¯à ¦¥¨¥ 6.35. ãáâì H { ¯®¤£à㯯 ¢ £à㯯¥ G ¨ x; y 2 G: ®ª § âì, çâ® á«¥¤ã- î騥 ãá«®¢¨ï íª¢¨¢ «¥âë:
(1)xH = yH;
(2)x 1y 2 H.
।«®¦¥¨¥ 6.36. ãáâì H { ¯®¤£à㯯 |
¢ £à㯯¥ G ¨ x 2 G. ®£¤ jHj = jxHj. |
।«®¦¥¨¥ 6.37. ãáâì H { ¯®¤£à㯯 |
¢ £à㯯¥ G ¨ x; y 2 G, ¯à¨ç¥¬ y 2 xH. |
®£¤ xH = yH. |
|
®ª § ⥫ìá⢮. á®, çâ® yH xH. ® ãá«®¢¨î y = xh ¤«ï ¥ª®â®à®£® h 2 H.«¥¤®¢ ⥫ì®, ¤«ï «î¡®£® u 2 H ¯®«ãç ¥¬ xu = y(h 1u); £¤¥ h 1u 2 H. âáî¤ xH
yH, â. ¥. xH = yH.
«¥¤á⢨¥ 6.38. ãáâì H { ¯®¤£à㯯 ¢ £à㯯¥ G. ®£¤ ¤¢ «¥¢ëå (¯à ¢ëå) ᬥ¦- ëå ª« áá G ¯® H «¨¡® ᮢ¯ ¤ îâ, «¨¡® ¥ ¯¥à¥á¥ª îâáï.
®ª § ⥫ìá⢮. ®á¯®«ì§®¢ âìáï ¯à¥¤«®¦¥¨¥¬ 6.37.
¥®à¥¬ 6.39 ( ¥®à¥¬ £à ¦ ). ãáâì H { ¯®¤£à㯯 ¢ ª®¥ç®© £à㯯¥ G. ®£¤ jGj = jHjj, £¤¥ j { ç¨á«® «¥¢ëå (¯à ¢ëå) ᬥ¦ëå ª« áá G ¯® H.
®ª § ⥫ìá⢮. §®¡ê¥¬ G «¥¢ë¥ ᬥ¦ë¥ ª« ááë ¯® H. ®£¤ ª ¦¤ë© í«¥- ¬¥â x 2 G «¥¦¨â ¢ ¥ª®â®à®¬ ª« áá¥, ¨¬¥®, ¢ xH. áâ ¥âáï ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï á«¥¤áâ- ¢¨¥¬ 6.38 ¨ ¯à¥¤«®¦¥¨¥¬ 6.36.
«¥¤á⢨¥ 6.40. ®à冷ª í«¥¬¥â ª®¥ç®© £àã¯¯ë ¤¥«¨â ¯®à冷ª £à㯯ë.«¥¤á⢨¥ 6.41. à㯯 ¯à®á⮣® ¯®à浪 ï¥âáï 横«¨ç¥áª®©.
7
®«ìæ ¨ ¯®«ï
¯à¥¤¥«¥¨¥ 7.1. ®«ìæ® (¥ ®¡ï§ â¥«ì® áá®æ¨ ⨢®¥). áá®æ¨ ⨢ë¥, ª®¬¬ã- â â¨¢ë¥ ª®«ìæ .
।«®¦¥¨¥ 7.2. «î¡®¬ ª®«ìæ® ¨¬¥¥¬ 0x = x0 = 0.
ਬ¥àë 7.3. ª ¦¥¬ àï¤ ª®«¥æ.
~ áá®æ¨ â¨¢ë¥ ª®«ìæ { ª®«ìæ ¬ âà¨æ Mat(n; R).
~áá®æ¨ ⨢®-ª®¬¬ãâ â¨¢ë¥ ª®«ìæ { ª®«ìæ ¥¯à¥àë¢ëå äãªæ¨© ⮯®«®- £¨ç¥áª®¬ ¯à®áâà á⢥.
¯à¥¤¥«¥¨¥ 7.4. ¤¨¨çë© í«¥¬¥â, ¤¥«¨â¥«¨ ã«ï, ®¡à â¨¬ë¥ í«¥¬¥âë «£¥¡àë.
।«®¦¥¨¥ 7.5. ¤¨¨çë© í«¥¬¥â «£¥¡àë ®¯à¥¤¥«¥ ®¤®§ ç®. ¡à â¨¬ë¥ í«¥¬¥âë áá®æ¨ ⨢®© «£¥¡àë ®¡à §ãîâ £à㯯㠯® 㬮¦¥¨î. ¡à â¨¬ë© í«¥- ¬¥â áá®æ¨ ⨢®© «£¥¡àë ¥ ¬®¦¥â ¡ëâì ¤¥«¨â¥«¥¬ ã«ï.
«¥¤á⢨¥ 7.6. ¯®«¥ ¥â ¤¥«¨â¥«¥© ã«ï.
¥®à¥¬ 7.7. àã¯¯ë ®¡à ⨬ëå í«¥¬¥â®¢ ¢ Mat(n; k) { íâ® GL(n; k); ¤¥«¨â¥«¨ ã«ï ¢ Mat(n; k) { íâ® ¢ë஦¤¥ë¥ ¬ âà¨æë ¨ ⮫쪮 ®¨.
¯à¥¤¥«¥¨¥ 7.8. âàãªâãà ª®«ìæ Zn.
।«®¦¥¨¥ 7.9. âàãªâãà ª®«ìæ Zn ®¯à¥¤¥«¥ ª®à४â®.
¥®à¥¬ 7.10. «¥¬¥â k 2 Zn ®¡à ⨬ ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ (k; n) = 1.
«¥¬¥â k 2 Zn ï¥âáï ¤¥«¨â¥«¥¬ ã«ï ⮣¤ |
¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ |
(k; n) > 1. |
®ª § ⥫ìá⢮. «¥¬¥â k ®¡à ⨬ ⮣¤ |
¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ |
©¤¥âáï â ª®¥ |
ç¨á«® u 2 Zn, çâ® ku = 1, â. ¥. ¢ Z ku + nv = 1. â® íª¢¨¢ «¥â® ⮬ã, çâ® (k; n) = 1.ãáâì í«¥¬¥â k 2 Zn ï¥âáï ¤¥«¨â¥«¥¬ ã«ï. ®£¤ ® ¥ ¬®¦¥â ¨¬¥âì ®¡à ⮣®
¯® ¯à¥¤«®¦¥¨î 7.5. «¥¤®¢ ⥫ì®, (k; n) > 1.
¡à â®, ¯ãáâì d = (k; n) > 1. ®£¤ n > m = nd 1; â. ¥. m 6= 0 ¢ Zn. ਠí⮬ km = k1dm = k1n = 0 ¢ Zn.
¯à¥¤¥«¥¨¥ 7.11. ®«¥.
p
ਬ¥àë 7.12. ®«ï { Q; R; C. ஬¥ ⮣®, Q[i]; Q[ 5].
¯à¥¤¥«¥¨¥ 7.13. à ªâ¥à¨á⨪ ¯®«ï char.
¥®à¥¬ 7.14. à ªâ¥à¨á⨪ ¯®«ï «¨¡® à ¢ ã«î, «¨¡® ¯à®á⮥ ç¨á«®.
¥®à¥¬ 7.15. ®«ìæ® ¢ëç¥â®¢ Zn ï¥âáï ¯®«¥¬ ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ n { ¯à®á⮥ ç¨á«®.
®ª § ⥫ìá⢮. 㦮 ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï ⥮६®© 7.10.
«¥¤á⢨¥ 7.16. char Zp = p.
37
38 |
7. |
¯à¥¤¥«¥¨¥ 7.17. ¨¥ªâ¨¢®¥ ®â®¡à ¦¥¨¥ ª®«¥æ f : R ! R0 §ë¢ ¥âáï ¨§®¬®à- 䨧¬®¬, ¥á«¨ f(x + y) = f(x) + f(y); f(xy) = f(x)f(y). ¡®§ 票¥ R ' R0.
ਬ¥à 7.18. ®ª § âì, çâ® Mat(n; Mat(m; R)) ' Mat(nm; R).
¯à ¦¥¨¥ 7.19. ®ª § âì, çâ® ¯à¨ ¨§®¬®à䨧¬¥ f : R ! R0
(1)f(1) = 1 ¨ ®¡à â¨¬ë¥ í«¥¬¥âë ¯¥à¥å®¤ïâ ¢ ®¡à ⨬ë¥;
(2)¤¥«¨â¥«¨ ã«ï ¯¥à¥å®¤ïâ ¢ ¤¥«¨â¥«¨ ã«ï.
¯à¥¤¥«¥¨¥ 7.20. ®¤¬®¦¥á⢮ K ¢ ª®«ìæ¥ á 1 (¯®«¥) R §ë¢ ¥âáï ¯®¤ª®«ì殬 (¯®¤¯®«¥¬), ¥á«¨ K ᮤ¥à¦¨â 1 ¨ ¨§ ⮣®, çâ® x; y 2 K á«¥¤ã¥â, çâ® x + y; xy 2 K (¢ á«ãç ¥ ¯®«¥© x 1 2 K; ¥á«¨ x 6= 0.
ਬ¥àë 7.21. Z ï¥âáï ¯®¤ª®«ì殬 ¢ Q, Q ï¥âáï ¯®¤¯®«¥¬ ¢ R; C. Mat(n; Z) ï¥âáï ¯®¤ª®«ì殬 ¢ Mat(n; R).
¯à¥¤¥«¥¨¥ 7.22. ®«ìæ® ¡¥§ ¤¥«¨â¥«¥© ã«ï §ë¢ ¥âáï ®¡« áâìî. à㣨¬¨ á«®- ¢ ¬¨, ª®«ìæ® R ï¥âáï ®¡« áâìî, ¥á«¨ ¤«ï «î¡ëå x; y 2 R ¨§ ⮣®, çâ® xy = 0; á«¥¤ã¥â,
çâ® «¨¡® x = 0; «¨¡® y = 0.
а¨¬¥а 7.23. ¡« бвп¬¨ п¢«повбп Z, «о¡®¥ ¯®«¥.
¯à ¦¥¨¥ 7.24. ãáâì a; b; c { í«¥¬¥âë ¨§ ¥ª®â®à®© ®¡« áâ¨, ¨ a 6= 0. ᫨ ab = ac, â® b = c.
8
®£®ç«¥ë ¨ àï¤ë ®â ®¤®© ¯¥à¥¬¥®©
1. ®«ìæ® ¬®£®ç«¥®¢ ®â ®¤®© ¯¥à¥¬¥®©
ãáâì R { áá®æ¨ ⨢®¥ ª®«ìæ® á 1. áᬮâਬ ¬®¦¥á⢮ R[X] ¢á¥å ¯®ç⨠㫥¢ëå ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⥩
a = (a0; a1; : : : ) |
(34) |
|
í«¥¬¥â®¢ ¨§ R. ¯à¥¤¥«¨¬ ¢ R[X] ®¯¥à æ¨î á«®¦¥¨ï ¯®-ª®®à¤¨ â®. ஬¥ ⮣®, ¥á«¨ |
||
a ¨§ (34), |
|
|
b = (b0; b1; : : : ); |
|
|
â® |
|
|
c = ab = (c0; c1; : : : ); |
|
|
£¤¥ ¤«ï «î¡®£® k 0 |
k |
|
|
|
|
ck = |
Xi |
|
aibk i: |
(35) |
|
|
=0 |
|
।«®¦¥¨¥ 8.1. R[X] ï¥âáï |
áá®æ¨ â¨¢ë¬ ª®«ì殬 á 1. ᫨ |
R ª®¬¬ãâ - |
⨢®, â® ¨ R[X] ª®¬¬ãâ ⨢®. |
|
|
¯à¥¤¥«¥¨¥ 8.2. R[X] §ë¢ ¥âáï ª®«ì殬 ¬®£®ç«¥®¢.
।«®¦¥¨¥ 8.3. á¥ í«¥¬¥âë (a0; 0; : : : ) 2 R[X] ®¡à §ãîâ ¯®¤ª®«ìæ®, ¨§®¬®àä- ®¥ R.
®ª § |
⥫ìá⢮. |
§®¬®à䨧¬ § ¤ ¥âáï ¯® ¯à ¢¨«ã a 7!(a; 0; : : : ) 2 R[X]. |
¡®§ |
票¥ 8.4. |
áî¤ã ¢ ¤ «ì¥©è¥¬ ¬ë ¡ã¤¥¬ ®â®¦¤¥á⢫ïâì a 2 R á (a; 0; : : : ) 2 |
R[X]. ®«®¦¨¬ X = (0; 1; 0; : : : ).
।«®¦¥¨¥ 8.5. «ï «î¡®£® n 1
Xn = (0; : : : ; 0; 1; 0; : : : )
᫨ a ¨§ (34), â® |
| |
|
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|
} |
|
|
|
|
n |
|
||
|
a = a0 + a1X + + anXn; ai 2 R: |
(36) |
¯à¥¤¥«¥¨¥ 8.6. ãáâì a 2 R[X] ¨§ (36), ¯à¨ç¥¬ an 6= 0: ⥯¥ìî a §ë¢ ¥âáï deg a = n. a0 §ë¢ ¥âáï ᢮¡®¤ë¬ ç«¥®¬ a. an §ë¢ ¥âáï áâ à訬 ç«¥®¬ a. ®£®- ç«¥ë ã«¥¢®© á⥯¥¨ ¨ ã«¥¢®© ¬®£®ç«¥ §ë¢ îâáï ª®áâ â ¬¨. ®£®ç«¥ë á® áâ à訬 ª®íää¨æ¨¥â®¬ 1 §ë¢ îâáï ã¨â à묨.
а¥¤«®¦¥¨¥ 8.7. в аи¨© (б¢®¡®¤л©) з«¥ ¯а®¨§¢¥¤¥¨п ¬®£®з«¥®¢ а ¢¥ ¯а®¨§¢¥¤¥¨о бв аи¨е (б¢®¡®¤ле) з«¥®¢ ᮬ®¦¨в¥«¥©. з бв®бв¨, ®¡а в¨¬л¬¨ н«¥¬¥в ¬¨ R[X] п¢«повбп ®¡а в¨¬л¥ ¢ R ª®бв вл.
«¥¤á⢨¥ 8.8. ᫨ R { ®¡« áâì, â® ¨ R[X] { ®¡« áâì. ஬¥ ⮣®, ¥á«¨ f; g 2 r[X] n 0, â® deg(fg) = deg f + deg g. ᫨ f; g; f + g 6= 0, â® deg(f + g) max(deg f; deg g).
39
40 |
8. |
2. ¥«¥¨¥ ¬®£®ç«¥®¢
¡®§ 票¥ 8.9. áî¤ã ¢ ¤ «ì¥©è¥¬ ¬ë ¡ã¤¥¬ ¯à¥¤¯®« £ âì, çâ® R { ¯®«¥.
í⮬ á«ãç ¥, £à㯯 ®¡à ⨬ëå í«¥¬¥â®¢ R[X] ᮢ¯ ¤ ¥â á ¬ã«ì⨯«¨ª ⨢®© £à㯯®© R ¢á¥å ¥ã«¥¢ëå ª®áâ â.
¥®à¥¬ 8.10 ( ¥«¥¨¥ á ®áâ ⪮¬). ãáâì f; g 2 R[X], ¯à¨ç¥¬ g 6= 0. ®£¤ áã- é¥áâ¢ãîâ ¨ ¯à¨â®¬ ¥¤¨áâ¢¥ë¥ â ª¨¥ q; r 2 R[X], çâ®
(1)f = qg + r;
(2)r = 0 ¨«¨ deg r < deg g.
®ª § ⥫ìá⢮. ãé¥á⢮¢ ¨¥.
᫨ f |
|
= 0 ¨«¨ deg f |
< deg g, â® ¯®« £ ¥¬ q = 0; r = g. ãáâì deg f = n, ¨ ¤«ï |
||||||||||||||||
¬¥ìè¨å á⥯¥¥© ⥮६ |
¤®ª § . ।¯®«®¦¨¬, çâ® an; bm { áâ à訥 ª®íää¨æ¨¥âë |
||||||||||||||||||
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|
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an |
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f; g. ®£¤ |
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á⥯¥ì h = f |
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Xn mg ¬¥ìè¥ n. ® ¨¤ãªæ¨¨ h = q0g + r0 |
|
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bm |
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f = h + |
an |
Xn mg = (q0 + |
an |
Xn m)g + r0: |
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bm |
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|
bm |
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¤¨á⢥®áâì. |
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®£¤ g(q |
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f = qg + r = q0g + r0; |
q0 |
deg r; deg r0 |
< deg g; ¥á«¨ ®¨ ¥ã«¥¢ë¥. |
|||||||||||||
|
q0) = r0 |
|
r. ᫨ q |
|
= 0, â® r |
|
r0 = 0: âáî¤ |
¯® á«¥¤á⢨î 8.8 |
|||||||||||
|
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6 |
6 |
|
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|||||||
|
|
|
deg g > deg(r r0) = deg(g(q q0)) = deg g + deg(q q0) deg g: |
||||||||||||||||
¯à¥¤¥«¥¨¥ 8.11. ®£®ç«¥ q §ë¢ ¥âáï ç áâë¬, |
¬®£®ç«¥ r ®áâ ⪮¬ f |
||||||||||||||||||
¤¥«¥¨ï |
|
g. ®£®ç«¥ g ¤¥«¨â f, ¥á«¨ r = 0. ¡®§ 票¥ gjf. |
|
¯à¥¤¥«¥¨¥ 8.12. ¨¡®«ì訬 ®¡é¨¬ ¤¥«¨â¥«¥¬ ¬®£®ç«¥®¢ f1; : : : ; fm, ¥ ¢á¥ ¨§ ª®â®àëå à ¢ë ã«î, §ë¢ ¥âáï â ª®© ¬®£®ç«¥ d, çâ®
(1)djfi; i = 1; : : : ; m;
(2)¥á«¨ d0 2 R[X]; ¨ d0jfi; i = 1; : : : ; m; â® d0jd.
¨¡®«ì訩 ®¡é¨© ¤¥«¨â¥«ì ¬®£®ç«¥®¢ f1; : : : ; fm, ®¡®§ ç ¥âáï «¨¡® (f1; : : : ; fm), «¨¡®
(f1; : : : ; fm).
।«®¦¥¨¥ 8.13. (f1; : : : ; fm), ®¯à¥¤¥«¥ ®¤®§ ç®, á â®ç®áâìî ¤® ¬®¦¨- ⥫ï ã«¥¢®© á⥯¥¨ (¥ã«¥¢®© ª®áâ âë). ஬¥ ⮣®,
(f1; (f2; : : : ; fm)):
§«®¦¨¬ «£®à¨â¬ ¢ª«¨¤ 宦¤¥¨ï ¨¡®«ì襣® ®¡é¥£® ¤¥«¨â¥«ï ¤¢ãå ¬®£®- ç«¥®¢ f; g, g 6= 0. 㤥¬ ¤¥«¨âì á ®áâ ⪮¬.
f = q1g + r1; |
deg r1 < deg g; |
|
||
g = q2r1 + r2; |
deg r2 |
< deg r1; |
|
|
r1 = q3r2 + r3; |
deg r3 |
< deg r2; |
(37) |
|
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : |
||||
|
||||
rk = qk+2rk+1 + rk+2; |
deg rk+2 |
< deg rk+1; |
|
|
rk+1 = qk+3rk+2: |
|
|
|
⬥⨬, çâ® ¢ (37) ç¨á«® k áãé¥áâ¢ã¥â, ¯®áª®«ìªã á⥯¥¨ ®áâ ⪮¢ ã¡ë¢ îâ.