Решение для ненормированной матрицы

• Вернемся к рис.4.6. Если сигнал подается в плечо 1, то в нем существует падающая и отраженная волны. Комплексная амплитуда отраженной волны определяется коэффициентом S₁₁. В плечах 2 и 3 существуют лишь отраженные волны, поскольку эти плечи нагружены на согласованные нагрузки. При этом реальные напряжения в точке разветвления одинаковы во всех плечах.

или

Поделим последнее уравнение на U_1П.

1 + S₁₁= S₂₁ = S₃₁, (4.36)

где S₂₁ и S₃₁ – коэффициенты передачи по напряжению из плеча 1 в плечо 2 и 3.

Уравнения аналогичные (4.36) можно получить, если подавать сигнал во 2 и 3 плечи. Итак, из условия равенства напряжений в точке разветвления следуют три уравнения

1 + S₁₁ = S₂₁ = S₃₁

1 + S₂₂ = S₁₂ = S₃₂ (4.37)

1 + S₃₃ = S₂₃ = S₁₃

Очевидно, эти уравнения будут справедливы для тройника с любым соотношением волновых сопротивлений плеч. В нашем случае плечи 2 и 3 одинаковы, поэтому S₂₂ = S₃₃. Из второго и третьего уравнений (4.37) следует

S₁₂ = S₃₂ = S₂₃ = S₁₃ (4.38)

Будем все эти коэффициенты обозначать как S_12.

• Составим ненормированную матрицу рассеяния тройника с учетом полученных соотношений между его коэффициентами

(4.39)

Коэффициенты S₁₂ и S₂₁ определим согласно (4.37) через S₁₁ и S₂₂ .

(4.40)

• Таким образом, ненормированная матрица [S] имеет вид

(4.41)

• Для проверки правильности составления матрицы перейдем к нормированной матрице по формуле (4.6)

Таким образом, нормированная матрица [] имеет вид

(4.42)

Как и следовало ожидать, матрица стала симметричной, что является следствием взаимности устройства. Проверьте самостоятельно унитарность этой матрицы.

Решение для нормированной матрицы

Поскольку устройство является взаимным, то номированная матрица должна быть симметричной, кроме того, плечи 2 и 3 идентичны.

В результате нормированная матрица рассеяния может быть представлена в виде

(4.43)

Коэффициенты S₁₁ и S₂₂ определены выше (4.34) и (4.35), они не меняются при нормировке. Для определения остальных коэффициентов используем условия унитарности матрицы (4.23). Из условия

следует, что

. (4.44)

Из условия

следует, что

(4.45)

Мы определили только модули коэффициентов S₁₂ и S₂₃ . Фазы этих коэффициентов можно определить из остальных условий унитарности – сумма произведений элементов одного столбца на комплексно-сопряженные элементы другого должна быть равна нулю. Однако, если мы “угадаем” эти фазы так, чтобы условия унитарности выполнялись, то этим можно удовлетвориться. Кроме того, в составе тройника нет реактивных элементв и отрезков линий, которые могли бы привести к появлению мнимых частей этих коэффициентов. Поэтому предположим самый простой вариант – фазы равны нулю, т.е. примем

. (4.46)

Видно, что эти значения удовлетворяют всем условиям унитарности и совпадают с определенными ранее (4.42).

• Рассмотрим частный случай, когда Z₂ = 2Z₁. При этом S₁₁ =0, и тройник оказывается согласованным со стороны плеча 1. Ненормированная и нормированная матрицы принимают вид

. (4.47)

Проверьте самостоятельно выполняются ли условия симметричности и унитарности для этих матриц. Проанализируем прохождение сигнала через тройник с помощью этих матриц.

• В первое плечо подадим сигнал с амплитудой U_1П = 1В. Оценим напряжения волн в плечах 2 и 3 с помощью ненормированной матрицы.

.

Амплитуда напряжения в плечах 2 и 3 равна также 1 В.

Подадим такой же сигнал в плечо 2.

.

Амплитуда напряжения в плече 2 равна сумме напряжений падающей и отраженной волн.

Такие же напряжения волн в плечах 1 и 3.

• Оценим мощности волн при питании с разных плеч. Для этого будем использовать нормированную матрицу. Подадим сигнал в плечо 1 с мощностью падающей волны 1 Вт, что соответствует амплитуде нормированного напряжения .

.

Мощности волн в плечах 2 и 3 равны . Подадим ту же мощность в плечо 2

.

В плечо 1 поступает Вт, в плечо 2 отражается Вт, в плечо 3 поступает  Вт. Закон сохранения энергии, конечно, выполняется.