111

В матричной форме система (3.1) может быть представлена в виде

[ U ]=[ Z ][ I ], (3.2)

где [ U ] и [ I ] –векторы – столбцы входных напряжений и токов,

[ Z ] – квадратная матрица сопротивлений.

. (3.3)

Элементы матрицы [ Z] называются собственными и взаимными сопротивлениями и предполагаются независящими от значений токов и напряжений. Поэтому связь междуUиI описывается системой линейных уравнений, а сам многополюсник называется линейным.

В дальнейшем будем рассматривать только линейные многополюсники. Аналогично, может быть составлена система уравнений для определения входных токов через входные напряжения, которая в матричной форме может быть представлена в виде

. (3.4)

В случае четырехполюсников применяется также классическая матрица передачи, которая связывает входные напряжение и ток с их выходными значениями

. (3.5)

Очевидно, матрица передачи может быть составлена только для четырехполюсников, в то время как матрицы [ Z] и [Y] - для любого 2N-полюсника. Матрицы [Z] и [Y] обычно применяются при последовательном и параллельном соединении многополюсников, так как в этих случаях общая матрица получается как сумма матриц, аналогично суммированию обычных сопротивлений и проводимостей.

. (3.6)

Можно показать, что при каскадном включении четырехполюсников общая матрица передачи равна произведению их матриц передачи.

(3.7)

3.2. Волновые матрицы многополюсников

В диапазоне СВЧ непосредственное измерение входных напряжений и токов во многих случаях оказывается затруднительным. Более удобным является измерение амплитуд и фаз падающих и отражённых волн, например, с помощью измерительных линий. Поэтому в СВЧ диапазоне многополюсники характеризуются другими матрицами – рассеяния [S] и передачи [t] ( последняя только для четырехполюсников)

Очевидно, что напряжения Uи токиIна входах многополюсника можно представить как сумму напряжений и токов падающих и отражённых волн в линиях передачи, подключённых к многополюснику. Например, для входа 1 можно записать

. (3.8)

Напряжение и ток в падающей и отражённой волнах связаны между собой через волновое сопротивление данной линии, причём

и . (3.9)

Знак минус в последнем соотношении связан с изменением направления распространения отражённой волны по сравнению с падающей. Подставляя соотношения (3.9) в формулу для I₁ из (3.8), получим

.

Таким образом, вместо величин U₁ и I₁ можно рассматривать связанные с ними U_1П и U₁₀. Проделав эту операцию по всем входам, мы совершим, таким образом, замену переменных в уравнениях типа (3.1) или (3.4): U_I и I_I заменим на U_IП и U_I0 . При этом нужно помнить, что падающими называются волны, идущие к многополюснику, отражёнными – уходящие от него (рис.3.2).

Рис.3.2

Стрелки на рис.3.2 указывают не направление электрических токов и напряжений, как на рис.3.1, а направление распространения волн. Вектор в этих волнах, определяющий перенос энергии в линиях передачи, конечно, направлен поперек этих линий. Соотношения между напряжениями падающих и отражённых волн на входах многополюсника могут принимать различные формы, но наиболее распространённой является связь через матрицу рассеяния

, (3.10)

Или в матричной форме

[ U₀ ] = [ S ][ U_П ]. (3.10 )

Для четырехполюсников часто применяется другая форма связи U_П и U₀ – через волновую матрицу передачи [t].

, (3.11) И ли в матричной форме

. (3.11)

Как и классическая матрица передачи, матрица [t] применяется при каскадном соединении четырехполюсников.

Выясним физический смысл коэффициентов матрицы [S]. Из первых двух уравнений системы (3.10) следует, что

;. (3.12)

Таким образом, S₁₁ есть коэффициент отражения от первого входа многополюсника, при условии, что во всех других плечах отсутствуют падающие волны. Реально это достигается, если к первому плечу подключить генератор и измерить коэффициент отражения, при условии, что остальные плечи нагружены на согласованные нагрузки, равные волновым сопротивлениям соответствующих линий.

Соответственно, S₂₁ есть волновой коэффициент передачи по напряжению из первого плеча во второе при тех же условиях эксперимента. Очевидно, это справедливо и для других плеч. Таким образом, S_ii есть коэффициент отражения по напряжению от i-ого плеча, при согласованных остальных, S_ik – волновой коэффициент передачи по напряжению из k-ого плеча в i-ое, при согласовании всех свободных плеч.

Коэффициенты матрицы [S] имеют чёткий физический смысл, а их экспериментальное определение вполне возможно. Это является основным положительным качеством матриц рассеяния. Коэффициенты матрицы [t], в основном, не имеют чёткого физического смысла и обычно определяется через S_ik. Связь между коэффициентами матриц [S] и [t] легко устанавливается из соотношений:

Она может быть представлена в виде:

, (3.13)

,

где det(t) = t₁₁t₂₂ – t₁₂t₂₁ - определитель матрицы [t] и аналогично det(S).

Например,

Рекомендуется формулы (3.13) получить самостоятельно. Конечно, элементы S_ik могут быть также выражены через Z_ik или Y_ik, однако, эта связь получается достаточно громоздкой и используется сравнительно редко. При желании можно обратиться к рекомендуемой литературе [4,6].