Вопросы для самопроверки и упражнения:
1. Пусть M – конечное множество. Какие отношения эквивалентности дают наибольший и наименьший индекс разбиения?
2. Пусть R1 и R2 отношения на N2, определяемые следующим образом: (a, b) R1 (c, d) тогда и только тогда, когда ас и bd; (а, b) R2 (c, d) тогда и только тогда, когда ас и bd. Являются ли R1 и R2 отношениями порядка?
2.4 Операции над бинарными отношениями
Так как отношения на M задаются подмножествами, RM1M2 (или RM2, если M1=M2=M), для них определимы те же операции, что и над множествами (см. параграф 1.2):
1. Объединение R1R2: R1R2={(a, b): (a, b)R1 или (а, b)R2}.
2. Пересечение R1R2: R1R2={(a, b): (a, b)R1 и (а, b)R2}.
3. Разность R1\R2: R1\R2={(a, b): (a, b)R1 и (а, b)R2}.
4.
Дополнение
:
=U\R,
где U=M1M2
(или U=M2).
Кроме того, определяют другие операции над отношениями, в том числе:
5. Обратное отношение (инверсия) R–1:
R–1={(a, b): (b, a)R).
6.
Составное
отношение
(композиция)
R1
R2:
R1
R2={(a,
b):
(c)
[<a,
c>R1
и
<c,
b>R2]}.
Обозначим
R
R=R(2).
Используя это обозначение, можно
определить R(n)
для любого
nN,
n>1
следующим образом:
R(n) ={(a, b): (a, с)R и (с, b)R(n–1)}.
7. Транзитивное замыкание R:
R={(a, b): (a, с1), (с1, с2), …, (сk, b)R} (определение I).
Унарная операция транзитивного замыкания R может быть также определена как бесконечное объединение:
R= RR(2) R(3) …R(n) … (определение II).
Если отношение R транзитивно, то R=R. Например, транзитивное замыкание отношения R – “быть больше” совпадает с этим отношением, т.е. R=R.
8. Рефлексное замыкание R*.
Пусть тождественное отношение E={(a, a): aM}. Тогда
R*=RE.
Если R транзитивно и рефлексивно, то R*=R.
Процедура вычисления транзитивного замыкания * R для отношения RMM:
1) присвоить R1R;
2) вычислить R1R1(2) =R1R1R1; присвоить R2R1R1(2) ;
3) сравнить: R1=R2. Если R1R2, то присвоить R1R2 и перейти к шагу 2. В противном случае – к шагу 4;
4) конец: R1=R2=R.
Пример 1. Пусть
отношение R
– “быть руководителем”, опреде-ленное
на множестве сотрудников организации
M.
Назовите отношения:
,R–1,
R,
R*.
Каковы свойства отношений?
=(MM)\R
– “не быть руководителем”.
R–1={(b, a): (a, b)R} – “быть подчиненным”.
R=R – “быть руководителем” (так как R – транзитивно).
R*=RE=RE – трудно назвать такое отношение, возможно – “быть руководителем, в том числе по отношению к самому себе”.
Пример 2. Пусть
на множестве M={2,
4, 6}определено отношение R
– “быть меньше”. Задать характеристическим
свойством и списком отношение R,
обратное отношение R–1
и дополнение
.
Сравнить отношения. Определить их
свойства.
R={(a, b): a<b} – “быть меньше”.
R={(2, 4), (2, 6), (4, 6)}.
R–1={(a, b): (b, a)R}={(a, b): a>b} – “быть больше”.
R–1={(4, 2), (6, 2), (6, 4)}.
=(MM)\R={(a,
b):
(a,
b)R}={(a,
b):
ab}
– “быть не меньше”.
={(2,
2), (4, 2), (4, 4), (6, 2), (6, 4), (6, 6)}.
Между R,
R–1
и
имеют место соотношения:
=R–1
E;
R–1E=,
где E={(a,
b):
a=b}
– тождественное отношение;
R
=U,
RR–1
E=U,
где
U=MM;
R
=;
RR–1
=;
RE=.
Отношения R и R–1 – антирефлексивны, антисимметричны, транзи-тивны, т.е. являются отношениями строгого порядка. Эти отношения задают полный порядок на множестве M.
Отношение
– рефлексивно, антисимметрично,
транзитивно,т.е.
является отношением нестрогого порядка;
оно также задает полный
порядок на множестве М.
Пример 3. Пусть R – отношение на N: R={(a, b): a>b} – “быть больше”. Выполнить операции над R.
RR=R;
RR=R;
R\R=;
R–1={(a b): a<b} – “быть меньше”;
=U\R={(a,
b):
ab}=
R–1
E
– “быть не больше”, где E
– тождественное
отношение, E={(a,
b):
a=b};
R
R=R(2)={(а,
b):
a–1>b}
– “быть больше по крайней мере на 2”;
R=R (так как R транзитивно);
R*=RE={(a, b): a>b или a=b}={(a, b): ab} – “быть не меньше”.
Пример 4. Пусть
отношение R
на множестве M
точек действительной
плоскости – “находиться на одинаковом
расстоянии от начала координат”. Каков
содержательный смысл отношений R–1
и
?
Определить соотношения между отношениямиR,
R–1
и
.
Каковы свойства отношений?
R–1={(a, b): b R a}. Так как заданное отношение R симметрично, т.е. для любых a,bM a R b влечет b R a, то R–1=R – “находиться на одинаковом расстоянии от начала координат”.
=U\R,
т.е. соответствует отношению “находиться
на разном расстоянии от начала координат”;
U=MM.
Очевидны
следующие соотношения:
R=;
R=U.
Кроме того, R=R–1,
поэтому
R–1=,
R–1=U,
а также R–1R=R,
R–1R=R.
Отношения R
и R–1
– рефлексивны, симметричны, транзитивны.
Отношение
–
антирефлексивно, симметрично,
нетранзитивно.
Пример 5. Пусть R1 и R2 – отношения на N:
R1={(a, b): b=a+2; a,bN},
R2={(a, b): b=a2; a,bN}.
Определить составные
отношения R1
R2,
R2
R1,
R1
R1=R1(2),
R2
R2=R2(2),
R1(n),
R2(n).
R1
R2={(a,
b):
(a,
c)R1;
(c,
b)R2;
a,b,cN}={(a,
b):
c=a+2;
c2=b;
a,b,cN}.
Таким
образом:
R1
R2={(a,
b):
(a+2)2=b;
a,bN}=(1,
9), (2, 16), (3, 25),
(4, 36), …
Аналогично:
R2
R1={(a,
b):
a2+2=b;
a,bN}=(1,
3), (2, 6), (3, 11), (4, 18), …
R1(2)
=R1
R1={(a,
b):
a+4=b;
a,bN}=(1,
5), (2, 6), (3, 7), (4, 8), …
R2(2)
=R2
R2={(a,
b):
a4=b;
a,bN}=(1,
1), (2, 16), (3, 81), …
R1(n) ={(a, b): a+2n=b; a,bN}=(1, 2n+1), (2, 2n+2), (3, 3n+3), …
R2(n) ={(a, b): a2n=b; a,bN}=(1, 1), (2, 4n), (3, 9n), (4, 16n), …
Пример 6. Пусть
(M)
– множество всех подмножеств, составлен-ных
из элементов множества M={a,
b}.
Задать списком отношение R={(A,
B):
AB)}
– “являться строгим включением”,
определенное на (M),
а также R–1,
,R,
R*.
(M)={, {a}, {b}, {a, b}}.
R={(A, B): AB)} – “являться строгим включением”;
R={(, {a}); (, {b}); (, {a, b}); ({a}, {a, b}); ({b}, {a, b})}.
R–1={(A, B): AB)} – “строго включать”;
R–1={({a}, ); ({b}, ); ({a, b}, ); ({a, b}, {a}); ({a, b}, {b})}.
={(A,
B):
AB}
– “не являться строгим включением”;
={(,
);
({a},
);
({a},
{a});
({a},
{b});
({b},
);
({b},
{a});
({b},
{b});
({a,
b},
);
({a,
b},
{a});
({a,
b},
{b});
({a,
b},
{a,
b})}.
R=R={A, B): AB} – “являться строгим включением” (так как R транзитивно);
R*=RE=R+E={(A, B): AB или A=B}={(A, B): AB} – “являться нестрогим включением”;
R*={(, ); (, {a}); (, {b}); (, {a, b}); ({a}, {a}); ({a}, {a, b}); ({b}, {b}); ({b}, {a, b}); ({а, b}, {а, b})}.
Правила построения
матриц отношений
,
R–1,
R(2),R
,
R*,
по
известной матрице отношения R:
Матрица дополнения
– в матрице исходного отношенияR
заменить единицы нулями, а нули –
единицами.Матрица обратного отношения R–1 – проставить в ней единицы, симметричные (относительно главной диагонали) соответствующим единицам исходной матрицы. Очевидно, что матрица симметричного отношения совпадает с матрицей его обратного отношения.
Матрица составного отношения R(2)– для каждой единицы исходной матрицы отношения R, принадлежащей i-й, строке, например единицы в j-м столбце, т.е. для
=1,
вi-й
строке вычисляемой матрицы проставить
единицы в тех k-х
столбцах, в которых имеются единицы в
j-й
строке исходной матрицы. Матрица транзитивного замыкания R* нетранзитивного отношения R – выполнить серию (одну или более) итераций, заключающихся в следующем:
а) для каждой
единицы исходной матрицы отношения R,
принадлежащей i-й
строке, например единицы в j-м
столбце, т.е. для
=1,
вi-й
строке вычисляемой матрицы проставляются
единицы в тех k-х
столбцах, в которых имеются единицы в
i-й
строке, а также в j-й
строке исходной матрицы;
б) полученную
матрицу отношений RR
R
=RR(2)принимают за
исходную и повторяют процедуру а),
выполняя таким образом следующий цикл
вычислений (построения матрицы), и т.д.
до тех пор, пока матрица не перестанет
изменяться, т.е. пока в некотором цикле
вычислений исходная и вычисленная
матрицы не совпадут.
Очевидно, что матрица транзитивного замыкания R совпадает с матрицей исходного отношения R, если отношение R транзитивно.
М
атрица
рефлексивного замыкания
R*
– построить матрицу транзитивного
замыкания (см. выше), а затем в полученной
матрице заменить нули на главной
диагонали, если таковые имеются,
на единицы.
Очевидно, что отношение R
рефлексивно, матрица рефлексивного
замыкания R*
совпадает
с матрицей транзитивного R
замыкания.
Пример 7. Каковы свойства отношения операции над R, заданного матрицей на рис. 2.5. Выполнить операции над R.
Отношение R={(a, b), (b, a), (c, b)}:
антирефлексивно (следовательно, нерефлексивно),
так как на главной диагонали только нули;
не симметрично, поскольку имеется c R b, но нет b R c;
не антисимметрично, так как имеются a R b и симметричная пара b R a;
не транзитивно, поскольку, например, имеются c R b и b R a, но нет c R а.
Выполним операции над R={(a, b), (b, a), (c, b)}:
RR=R; RR=; R\R=;
=U\R={(a,
a),
(a,
c),
(b,
b),
(b,
c),
(c,
a)
(c,
c)}
(см.
матрицу
на
рис
2.6, а);
R–1={(a,
b),
(b,
a),
(b,
c)}
(см. матрицу на рис 2.6, б).
Для получения транзитивного замыкания R выполним процедуру выявления нетранзитивностей для Таблица 2.2
|
Имеем |
Отсутствует |
|
(a, b) и (b, a) (b, a) и (a, b) (c, b) и (b, a) |
(a, a) (b, b) (c, a) |
Полученные пары
представляют составное отношение
R
R=R(2)=
={(a,
a),
(b,
b),
(c,
a)}.
Матрица R
R=R(2)
приведена на рис. 2.6, в.
Добавив пары {(a, a), (b, b), (c, a)} к R, получим:
R=RR(2)={(a, a), (a, b), (b, a), (b, b), (c, a), (c, b)}.
Проверка на транзитивность отношения R не выявляет в нем нарушений транзитивности, поэтому:
R=R={(a, a), (a, b), (b, a), (b, b), (c, a), (c, b)} (см. матрицу на рис 2.6, г);
R*=RE={(a, a), (a, b), (b, a), (b, b), (c, a), (c, b), (c, c)} (см. матрицу на рис 2.6, д);
Свойства исходного и полученных отношений после выполнения унарных операций приведены в табл. 2.3.
Таблица 2.3
|
Отношение |
Рефлек-сивное |
Антиреф-лексивное |
Симмет-ричное |
Антисим-метричное |
Транзи-тивное |
|
R |
– |
x |
– |
– |
– |
|
|
x |
– |
– |
– |
– |
|
R–1 |
– |
x |
– |
– |
– |
|
R(2) |
– |
– |
– |
x |
– |
|
R |
– |
– |
– |
– |
x |
|
R* |
x |
– |
– |
– |
x |
