Вопросы для самопроверки и упражнения:

1. Пусть M=(A), A={1, 2, 3, 4}. Найти все элементы (пары) отно-шения R на M, если R означает:

а) ; в) “пересекаться с”;

б) ; г) “быть дополнением к”.

Задать R описанием его характеристического свойства.

2. Пусть отношение R задано на M={1, 2, 3, …, 9}. Выписать все элементы R, если:

а) R={(a, b): a,bM; (a+1) – делитель (a+b)};

б) R={(a, b): a,bM; a – делитель (a+b), a1}.

3. Пусть М – множество клеток шахматной доски (см. пример 6). Требуется:

а) Задать характеристическим свойствам отношение R_kMM, связывающее клетки m₁,m₂M, которые определяются ходом коня (т.е. если конь может перейти с m₁ на m₂ за один шаг);

б) Описать отношение R_pMM, область определения D(R_p), область значений Q(R_p), если R_p такое, что (m₁, m₂)R_p тогда и только тогда, когда m₁ – начальная позиция белой пешки, а m₂ – клетка, где первый ход игры заканчивается.

2.2 Свойства бинарных отношений

Пусть R – отношение на множестве M, RMM. Тогда:

1) R – рефлексивно, если (aM) a R a;

2) R – антирефлексивно, если ни для какого aM не выполняется a R a;

3) R – симметрично, если a R b  b R a;

4) R – антисимметрично, если a R b и b R a влекут a=b, т.е. ни для каких различающихся элементов a и b (аb) не выполняется одно-временно a R b и b R a;

5) R – транзитивно, если a R b и b R с  a R с.

Пример 1. Какими признаками характеризуется матрица отношения R, если R соответственно: рефлексивно, антирефлексивно, симметрично, антисимметрично, транзитивно.

Пусть R задано на M, RMM.

1) R – рефлексивно. Главная диагональ матрицы рефлексивного отношения содержит только единицы:=1;

2) R – антирефлексивно. Главная диагональ матрицы антирефлек-сивного отношения должна содержать только нули: =0;

3) R – симметрично. В матрице симметричного отношения =, т.е. матрица симметрична относительно главной диагонали;

4) R – антисимметрично. В матрице антисимметричного отношения отсутствуют единицы, симметричные относительно главной диагонали и не лежащие на главной диагонали;

5) R – транзитивно. В матрице такого отношения должно выпол-няться следующее условие: если в i-й строке стоит единица, например, в j-й координате (столбце) строки, т.е. =1, то всем единицам вj-й строке должны соответствовать единицы i-й строке в тех же k-х координатах, т.е. =1 (и, может быть, еще и в других координатах).

Пример 2. Пусть бинарное отношение R на M задано в виде диаграммы, состоящей из узлов и стрелок так, что узлам взаимно однозначно соответствуют элементы множества M, а стрелкам, соединяющим, пару a и b в направлении от a к b, – наличие отношения a R b. Определить графические особенности диаграммы в зависимости от характера свойств отношения R.

1) R – рефлексивною. Соответствующая диаграмма рефлексивного отношения должна содержать петли во всех узлах.

2) R – антирефлексивно. Диаграмма антирефлексивного отношения не должна содержать ни одной петли.

3) R – симметрично. В диаграмме симметричного отношения для каждой стрелки, соединяющей два узла, существует также стрелка, соединяющая эти узлы в обратном направлении.

4) R – антисимметрично. В диаграмме антисимметричного отноше-ния не существует двух различных узлов, связанных парой (разно-направленных) стрелок.

5) R – транзитивно. В диаграмме транзитивного отношения для любых двух стрелок таких, что одна направлена от a к b, а другая – от b к c, существует стрелка, соединяющая a и c в направлении от a к c.

Пример 3. Каковы свойства отношений, заданных:

1. На множестве натуральных чисел N:

а) R₁ – “быть не больше ”;

б) R₂ – “быть делителем”;

в) R₃ – “быть равным”.

2. На множестве точек действительной плоскости 

а) R₄ – “находиться на одинаковом расстоянии от начала координат”;

б) R₅ – “быть симметричным относительно оси X”.

3. На системе множеств (M):

а) R₆ – “пересекаться с” (иметь непустое пересечение);

б) R₇ – “являться строгим включением ”.

4. На множестве людей:

а) R₈ – “быть сыном”;

б) R₉ – “жить в одном городе”;

в) R₁₀ – “быть братом”.

5. На множестве элементов структуры (рис. 2.2):

а) R₁₁ – “быть непосредственно связанным с”;

б) R₁₂ – “быть начальником”.

1. На множестве N:

а) R₁={(a, b): ab}:

• рефлексивно, не антирефлексивно, так как выполняется аа для всех аM, например 22;

• не симметрично, так как 23, но неверно, что 32;

• антисимметрично, поскольку если ab, a bа, то a=b;

• транзитивно, так как если аb, a bс, то ac, например 23, 34 и 24;

б) R₂={(a, b): a – делитель b}:

• рефлексивно, не антирефлексивно, так как любое число делит само себя без остатка: a/a=1 для всех aN;

• не симметрично, антисимметрично, например 2 – делитель 4, но 4 не является делителем 2;

• транзитивно, так как если b/aN и c/bN, то с/a=b/a  c/bN, например, если 6/3=2N и 18/6=3N, то 18/3=18/6  6/3=6N;

в) R₃={(a, b): a=b}:

• рефлексивно, не антирефлексивно, поскольку a=a для всех aN;

• симметрично, так как если a=b, то b=a;

• антисимметрично, так как если a R₃ b и b R₃ a, то а=b;

• транзитивно, так как если а=b и b=c, то а=с.

2. На множестве точек действительной плоскости 

а) R₄={((x₁, y₁), (x₂, y₂)): (x₁)²+(y₁)²=(x₂)²+(y₂)²}:

• рефлексивно, не антирефлексивно, так как x²+y²=x²+y² для любых точек (x, y) действительной плоскости 

• симметрично, не антисимметрично, так как, например, для точек (2, 3) и (–2, 3) имеет место 2²+3²=(–2)²+3², но (2, 3)(–2, 3);

• транзитивно, поскольку если (x₁, y₁) и (x₂, y₂) находятся на одина-ковом расстоянии от начала координат, а также – (x₂, y₂) и (x₃, y₃), то и (x₁, y₁) и (x₃, y₃) находятся на одинаковом расстоянии от начала координат;

б) R₅={((x₁, y₁), (x₂, y₂)): x₁=x₂, y₁= –y₂}:

• не рефлексивно, так как для точек плоскости (x, y), не находящихся на оси X, т.е. для точек с координатами y0, не выполняется (x, y) R₅ (x, y);

• не антирефлексивно, так как точка плоскости симметрична самой себе, если она лежит на оси X, т.е. для точек (x, y) с координатами y=0 имеет место (x, y) R₅ (x, y);

• симметрично, например (2, 3) R₅ (2, –3) и (2, –3) R₅ (2, –3);

• не антисимметрично, поскольку имеет место, например, (2, 3) R₅ (2, –3) и (2, –3) R₅ (2, 3), но (2, –3)(2, 3);

• не транзитивно, так как, например, (2, 3) R₅ (2, –3) и (2, –3) R₅ (2, 3), но не выполняется (2, 3) R₅ (2, 3).

3. На системе множеств (M):

а) R₆={(A, B): AB, A,B(M)}:

• не рефлексивно, поскольку для (M) имеет место =;

• не антирефлексивно, так как для A(M), если A не пусто, т.е. A, то AA=, т.е. отношение выполняется;

• симметрично, так как если A пересекается с B, то и B – с A;

• не антисимметрично, поскольку A R₆ B и B R₆ A для AB;

• не транзитивно, например {a} R₆ {a, b} и {a, b} R₆ {b}, но {a} R₆ {b} не выполняется;

б) R₇={(A, B): AB}:

• не рефлексивно, антирефлексивно, так как ни для каких A(M) не выполняется AA;

• не симметрично, поскольку из AB не следует BA;

• антисимметрично, так как ни для каких А, В таких, что AB, не выполняется одновременно AB и BA;

• транзитивно, так как для любых A,B,C(M) из AB и BC следует AC.

4. На множестве людей:

а) R₈={(a, b): a – сын b}:

• не рефлексивно, антирефлексивно, так как ни для каких a не выполняется: а – сын а;

• не симметрично, антисимметрично, поскольку ни для каких ab не выполняется: а – сын b и b – сын а;

• не транзитивно, так как если: а – сын b и b – сын с, то а – не сын с;

б) R₉={(a, b): a живет в одном городе с b}:

• рефлексивно, не антирефлексивно, так как a R₉ a для всех а;

• симметрично, поскольку для любых а, b, если a R₉ b, то b R₉ a;

• не антисимметрично, так как имеет место a R₉ b и b R₉ a для аb;

• транзитивно, поскольку для всех a, b, c, если a R₉ b и b R₉ с, то а R₉ с;

в) R₁₀={(a, b): a – брат b}:

• не рефлексивно, антирефлексивно из-за очевидного отсутствия a R₁₀ a для всех а;

• не симметрично, так как в общем случае между братом а и сестрой b имеет место a R₁₀ b, но не b R₁₀ a;

• не антисимметрично, так как если а и b – братья, то a R₁₀ b и b R₁₀ a, но ab;

• транзитивно, если называть братьями людей, имеющих общих родителей (отца и мать).

5. На множестве элементов структуры (см. рис. 2.2):

а) R₁₁={(a, b): a – непосредственно связан с b}:

• не рефлексивно, антирефлексивно, если в конкретной интер-претации a R₁₁ a не имеет смысла;

• симметрично, не антисимметрично, поскольку для всех ab, если выполняется a R₁₁ b, то b R₁₁ a;

• не транзитивно, так как при a R₁₁ b и b R₁₁ с не выполняется а R₁₁ с (а и с связаны, но опосредованно);

б) R₁₂={(a, b): a – начальник b}:

• не рефлексивно, антирефлексивно (см. R₁₁};

• не симметрично, антисимметрично, так как для всех ab не выполняется одновременно a R₁₂ b, то b R₁₂ a;

• транзитивно, так как если а – начальник b и b – начальник с, то а – начальник с.