Вопросы для самопроверки и упражнения:

1. Пусть даны множества A, B, C, причем С B. Доказать, что

а) ACAB; б) ACAB; в) A\BA\C;

г) C\AB\A; д) \A\A.

2. Доказать эквивалентность приведенных ниже утверждений, т.е. что из каждого следует другое:

AB=U;  B; =.

1.5 Векторы, прямые произведения, проекции векторов

Основные понятия векторных представлений:

Вектор v – упорядоченный набор элементов

v=(a₁, a₂, …, a_n),

где a₁, a₂, …, a_n – компоненты (координаты) вектора. Число n ком-понент называется длиной (размерностью) вектора.

Два вектора v₁=(a₁, a₂, …, a_n) и v₂=(b₁, b₂, …, b_m) равны:

(a₁, a₂, …, a_n)=(b₁, b₂, …, b_m)

если: 1) n=m; 2) a₁=b₁, a₂=b₂, …, a_n=b_m.

Прямое (декартово) произведение множеств:

A₁A₂...A_n={(a₁, ...,a_n) a₁A₁, ..., a_nA_n},

если A₁=A₂=...=A_n=A, то A₁A₂...A_n=Aⁿ.

Мощность прямого произведения множеств A₁, A₂, ..., A_n:

|A₁A₂...A_n|=|A₁|  |A₂|  …  |A_n|.

Способы задания прямого произведения множеств A₁A₂...A_n– аналогичны способам задания множеств с той разницей, что требуется задание каждого множества A₁, A₂, ..., A_n прямого произведения.

Операции над множествами векторов (данного прямого произведе-ния) – объединение, пересечение, разность, дополнение – аналогичны соответствующим операциям над множествами элементов.

Операции над вектором v длины n: v=(a₁, a₂, …, a_n).

Проекция вектора v на i-ю ось: пр_i v=a_i.

Проекция вектора v на оси с номерами i₁, i₂, …, i_k:

где i₁<i₂<…<i_k.

Операции над множеством векторов V длины n: v=(a₁, a₂, …, a_n), vV.

Проекция множества векторов V на i-ю ось:

пр_iV={пр_i v; vV}.

Проекция множества векторов V на оси с номерами i₁, i₂, …, i_k:

=vV}.

В частности, если V=, то

Операции над упорядоченным множеством векторов V длины n: V={v₁, v₂, …, v_m}, v=(a₁, a₂, …, a_n).

Проекция упорядоченного множества векторов V на i-ю ось:

Проекция упорядоченного множества векторов V на оси с номе-рами i₁, i₂, …, i_k:

Кроме того, над векторами v одинаковой длины n возможно выполнение различных операций сравнения, задаваемых теми или иными правилами сравнения векторов:

Правило 1 сравнения векторов по предпочтению:

Пусть V – множество векторов длины n, компонентами которых являются числа. Вектор a=(a₁, a₂, …, a_n) не менее предпочтителен, чем вектор b=(b₁, b₂, …, b_n) (обозначение ab), если компоненты вектора a не меньше соответствующих компонент вектора b, т.е.:

аb, если a₁b₁, a₂b₂, …, a_nb_n.

Пример 1. Пусть при предварительном отборе претендентов на вакантную должность кадровую службу организации интересуют следующие их характеристики:

A₁ – пол; A₁={женск., мужск.};

A₂ – возраст (лет); A₂={18, 19, …, 35};

A₃ – образование; A₃={среднее, незаконченное высшее, высшее};

A₄ – общий стаж работы (лет); A₄={0, 1, 2, …, 15, более 15};

A₅ – стаж работы менеджером (лет); A₅={0, 1, 2, …, 10, более 10};

A₆ – знание английского языка; A₆={не владеет, со словарем, свободно};

A₇ – владение компьютером; A₇={компьютер, нет};

A₈ – семейное положение; A₈={холост (не замужем), женат (замужем)};

Опишите векторно двух претендентов:

а) Иванова 23 лет, окончившего МИФИ, владеющего английским со словарем, однако не имеющего стажа работы по специальности менеджера, неженатого;

б) Петрова 27 лет, окончившего Международный университет 3 года назад и проработавшего далее менеджером в коммерческой фирме, свободно владеющего двумя иностранными языками, в том числе, английским, женатого.

Определите проекции полученных векторов на оси с номерами: 2, 5, 6, 7.

При указанной последовательности характеристик векторные описания претендентов:

а=(мужск., 23, высшее, 5, 0, со словарем, компьютер, неженат),

б=(мужск., 27, высшее, 7, 3, свободно, компьютер, женат).

Проекции полученных векторов на оси (характеристики) с номе-рами 2, 5, 6, 7:

пр_{2, 5, 6, 7}а=(23, 0, со словарем, компьютер);

пр_{2, 5, 6, 7}б=(27, 3, свободно, компьютер).

Пример 2. Пусть V={(a, b, d), (c, b, d), (d, b, b)}. Чему равны проекции V на первую ось, на вторую, а также на вторую и третью? Чему равны проекции V на эти оси, если V – упорядоченное (указан-ным выше образом) множество векторов V?

Проекции множества векторов V:

пр₁V={a, c, d}; пр₂V={b}; пр_2,3V={(b, d), (b, b)}.

Проекции упорядоченного множества векторов V=((a, b, d), (c, b, d), (d, b, b)):

пр₁V=(a, c, d); пр₂V={b, b, b}; пр_2,3V=((b, d), (b, d), (b, b)).

Пример 3. Пусть V={(a, b), (b, c, d), (c, a, d)}. Чему равна проекция пр₁V?

Проекция пр₁V не может быть определена, так как задано мно-жество V векторов разной длины.

Пример 4. Пусть X={0, 1}, Y={a, b}. Найти XY, YX, X², XYX.

XY={(0, a), (0, b), (1, a), (1, b)}.

YX={(a, 0), (b, 0), (a, 1), (b, 1)}.

Таким образом, XYYX.

X²={(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)}.

XYX={(0, a, 0), (0, a, 1), (0, b, 0), (0, b, 1), (1, a, 0), (1, a, 1), (1, b, 0), (1, b, 1)}.

Пример 5. Проиллюстрировать на конкретном примере утверждение: если AX и BY, то АBXY.

Пусть A={a}, X={a, b}, т.е. AX, и B={1, 2}, Y={1, 2, 3}, т.е. BY. Тогда: АB={(a, 1), (a, 2)};

XY={(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)}={(a, 1), (a, 2)}{(a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)}=[АB]{(a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)}= XY.

Таким образом, АB XY.

Пример 6. Пусть A – алфавит, т.е. конечное множество, элементами которого являются символы (буквы, цифры, знаки препинания, знаки операций и т.д.). Словом длины n в алфавите А (обозначается последовательностью из n символов без скобок и запятых) называют любой элемент множества Aⁿ. В этом определении слово представлено как вектор. Множество всех слов в алфавите A – это множество A^*: A^*=A¹A²A³…

Пусть теперь алфавит A состоит из трех символов, например: A={a, b, c}. Определить множество всех слов длины 1, 2, 3, 4 в алфавите A.

Множество всех слов длины 1:

A¹={a, b, c}, |A¹|=3.

Множество всех слов длины 2:

A²=АA={aa, ab, ac, ba, bb, bc, ca, cb, cc}, |A²|=9=3².

Множество всех слов длины 3:

A³=АAA={aaa, aab, aac, aba, …, ccc}, |A³|=27=3³.

Множество всех слов длины 4:

A⁴=АAAA={aaaa, aaab, aaac, aaba, …, cccc}, |A⁴|=81=3⁴.

Очевидно, что |Aⁿ|=|A|ⁿ.

Пример 7. Пусть при сравнении пяти вариантов решений a, b, c, d, e по четырем характеристикам-критериям X, Y, Z, U получены следую-щие векторные оценки каждого варианта:

V={(2, 3, 1, 2), (3, 3, 1, 2), (2, 2, 2, 2), (3, 2, 1, 2), (2, 3, 2, 2)}.

Используя правило 1 сравнения векторов по предпочтению, определить наилучшие векторные оценки и соответствующие им варианты решений.

В соответствии с правилом 1 выполним попарное сравнение векторных оценок из V. При сравнении первой векторной оценки со второй последняя оказывается не менее предпочтительной, а именно:

(2, 3, 1, 2)(3, 3, 1, 2).

Поэтому дальнейшее сравнение первой векторной оценки со всеми другими можно не выполнять и далее ее не рассматривать. Оставшиеся векторные оценки:

V′={(3, 3, 1, 2), (2, 2, 2, 2), (3, 2, 1, 2), (2, 3, 2, 2)}.

В полученном списке V′ векторных оценок первая сравнима по правилу 1 только с третьей этого списка:

(3, 3, 1, 2)(3, 2, 1, 2).

Это позволяет отбросить третью векторную оценку в V′ как менее предпочтительную. Новый список векторных оценок:

V′′={(3, 3, 1, 2), (2, 2, 2, 2), (2, 3, 2, 2)}

В новом списке V′′ сравнимыми по правилу 1 оказываются только последние две оценки:

(2, 2, 2, 2)(2, 3, 2, 2).

Оставшиеся две векторные оценки

V′′′={(3, 3, 1, 2), (2, 3, 2, 2)}

несравнимы по правилу 1, т.е. никакой из них нельзя отдать предпочтение по данному правилу. Поэтому их следует признать лучшими среди векторных оценок исходного списка V.

Таким образом, наилучшими по правилу 1 сравнения векторов по предпочтению оказались вторая и последняя векторные оценки исходного списка V, и соответствующие им варианты решений {b, e} следует также признать наилучшими с учетом оценок, полученных ими по критериям Х, Y, Z, U.

Заметим, что полученное с использованием правила 1 множество M_П={b, e} наилучших и несравнимых вариантов решений называют в теории принятия решений областью компромиссов, или множеством парето-оптимальных решений.