Вопросы для самопроверки и упражнения:
1. Построить диаграммы Эйлера-Венна, иллюстрирующие множества а) – л) из упражнения 3 в параграфе 1.2.
2. Пусть A,B,CU. Проиллюстрировать на примере конкретных множеств и с помощью диаграмм Эйлера-Венна справедливость следующих соотношений:
а) A(BC)=(AB)C; д) A(AB)=A;
б) A(BC)=(AB)C; е) А(AB)=A;
в)
=
ж)
(AB)(А
=A;
г)
=
з)
A
B)=AB.
1.4 Доказательства
Под доказательством будем понимать способ получения (вывод) новых соотношений из уже имеющихся путем корректных преобразований.
Виды доказательств в теории множеств:
1) Геометрический – использование диаграмм Эйлера-Венна.
2) Аналитические методы:
Равенства с множествами имеют вид:
A (A, B, C, …)=B (A, B, C, …) (1)
либо вид
A (A, B, C, …)= (2)
1. Универсальным методом доказательства равенств вида (1) является использование условия равенства 2-х множеств:
A=B (AB)(BA) (3)
2. Универсальным методом доказательства равенства вида (2) является приведение к противоречию предположения, что A≠, т.е. предположения о существовании такого а, что аA (доказа-тельство от противного).
3. Доказательство единственности существования множества X.
Используется основной математический подход, в соответствии с которым сначала предполагается, что существует 2 таких множества X′ и X, а затем доказывается, что они совпадают:
X′=X, т.е. X′=X=X.
Пример 1. Доказать справедливость соотношения – A(BC)= =(AB)(AC).
Доказательство:
1
-ый
метод –
геометрический с помощью диаграмм
Эйлера-Венна.
Диаграммы Эйлера-Венна (картинки аудентичны, т.е. при наложении совпадают, если выдержаны масштабы и расположение изображений множеств A, B, C) (см. рис. 1.8).
2-ой метод. Покажем, что выполняется одновременно 2 условия:
а) aA(BC)a(AB)(AC);
б) aA(BC)a(AB)(AC).
Доказательство:
() 1. aA(BC).
1.1 aAaBC.
1.2 aA(aBaC).
1.3 aAaBa(AB).
1.4 aAaCa(AC).
1.5 a(AB)a(AC)a(AB)(AC).
() 2. a(AB)(AC).
2.1 a(AB)a(AC).
2.2 a(AB)aAaB.
2.3 a(AC)aAaC.
2.4 aAaAaBaC.
2.5 aAaBaC.
2.6 aAa(BC).
2.7 aA(BC).
Одновременным выполнением 2-х условий доказывается справедливость соотношения.
Пример 2. Доказать,
что относительно данного универсального
мно-жества
U
дополнение любого множества
единственно.
Для доказательства
единственности дополнения
множестваAU
предположим, что существуют два множества
B
и C
в U,
каждое из которых удовлетворяет
требованиям дополнения множества A:
a) BA=; б) СA=;
в) BA=U; г) СA=U.
Очевидно, что B=BU. С учетом условия г) B=B(CA).
Тогда по доказанному выше:
B=(BC)(BA), но с учетом условия а) B=(BC)=BC, т.е. B=BC. Поэтому aB aB и aС B(BC) BB и BС.
Очевидно, что BB, отсюда следует, что BС.
В то же время с учетом условий в), б), а также в соответствии с доказанным выше примером:
C=CU=C(BA)=(CB)(CA)=(CB)=CB.
Поэтому
аС аС и aB C(CB) CC и CB.
Отсюда следует, что CB.
Таким образом, BС
и CB,
откуда B=C.
Следовательно, B=C=
и
–
единственно,
что и требовалось доказать.
Пример 3. Пусть даны множества A, B, C такие, что ABC=U и A, B, C попарно не пересекаются. Доказать, что
=BC,
=AC,
=AC.
Докажем, что
=BC.
По условию, A, B, C попарно не пересекаются, т.е.
а) AB=; б) AC=; в) BC=,
кроме того,
г) ABC=U, т.е. A(BC)=U.
Согласно доказанному в примере 2, параграф 1.3 A(BC)= =(AB)(AC), где в соответствии с условиями а), б): (AB)(AC)= ==. Таким образом, A(BC)=.
Итак, пересечение A и (BC) пусто, а их объединение по условию г) составляет универсальное множество U:
A(BC)=; A(BC)=U.
Следовательно,
ВС
удовлетворяет
условиям для
,
которое единственно (в соответствии
с доказанным в примере 2). Поэтому
=
BC,
что и требовалось доказать.
Аналогично
доказывается
=AC
и
=AC.
Пример 4. Доказать,
что для произвольных множеств A
и
B
имеет
место соотношение AB
.
Отметим
вначале, что если а
,
то аA,
и
проведем доказательство от противного,
т.е. допустим, что A
B
и
.
Тогда
1. A B если аA, то аB.
С другой стороны,
2.
существует
элемент а
такой,
что a
иa
a
иаA.
Но тогда с учетом (1) – (2):
аA
и a
aB
и a
a(B
)=
(противоречие).
Следовательно,
предположение
ложно и поэтому
,
т.е.AB
.
Аналогично
можно показать, что
A
B
и, значит, A
B
,
что и требовалось доказать.