1.2 Операции над множествами
Объединением множеств A и B (обозна-чается AB):
AB={x: xA или xB}.
Объединение
произвольной совокупности
множеств:
П
ересечением
множеств A
и B
(обозна- чается
AB):
AB={x: xA и xB}.
Пересечение
произвольной совокупности
множеств:
Разность множеств A и B (обозначается A\B):
А\B={x: xA и xB}.
С
имметрическая
разность
множеств A
и B
(обозначается A\.B,
AB,
AB):
AB ={x| xA и xB или xA и xB}= = (A\B)(B\A).
П
устьU
– универсальное
множество.
Дополнение
(до U)
множества A
(обозначается
):
= U\A.
Операции объединения, пересечения, дополнения {, , –} часто называют булевыми операциями над множествами.
Пример 1. Пусть универсальное множество U – множество всех сотрудников некоторой фирмы; A – множество всех сотрудников данной организации старше 35 лет; B – множество сотрудников, имеющих стаж работы более 10 лет; С – множество менеджеров фирмы. Каков содержательный смысл (характеристическое свойство) каждого из следующих множеств:
а)
б)
BC;
в) A(B
);
г)B\C;
д) C\B?
а)
– множество сотрудников организации,
стаж работы которых не превышает 10 лет.
б)
BC
– множество менеджеров фирмы не старше
35 лет, имеющих стаж работы более 10 лет.
в) A(B
)
– множество всех сотрудников фирмы
старше 35 лет, а также сотрудников, не
являющихся менеджерами, стаж работы
которых более 10 лет.
г) B\C – множество сотрудников организации со стажем работы более 10 лет, не работающих менеджерами.
д) C\B – множество менеджеров со стажем работы не более 10 лет.
Пример 2. Пусть U={1, 2, 3, 4}, A={1, 3, 4}, B={2, 3}, C={1, 4}. Найти:
а)
б)
в)А
г) (B\A)
.
а)
=(U\A)(U\B)=({1,
2, 3, 4}\{1, 3 ,4})({1,
2, 3, 4}\{2, 3})=
={2}{1,
4}={1, 2, 4}.
б)
=U\(AB)={1,
2, 3, 4}\({1,
3, 4}{2,
3}={1, 2, 3, 4}\{3}= ={1, 2, 4}.
в)
А
=A(U\B)={1,
3 ,4}({1,
2, 3, 4}\{2, 3})={1,
3, 4}{1,
4}= ={1, 4}.
г)
(B\A)
=
({2, 3}\{1, 3, 4})({1,
2, 3, 4}\{1, 4})={2}{2,
3}={2,
3}.
Вопросы для самопроверки и упражнения:
1. Пусть A={1, 2, 3}, B={2, 3, 4, 5}, C={2, 5, 6}, U ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Найти:
а) ABC; б) ABC; в) A\(BC); г) (A\B)C;
д) (AB)\(AB) е) (AB)C; ж) (AB)C; з) (AB)\C;
и)
A(BC);
к)
(AB);
л)
C;
м)
(AB)\
2. Указать, какие из следующих утверждений справедливы:
а) 0; б) ={0}; в) |{}|=0; г) ||=0?
3. Пусть U={a, b, c, d}, X={a, c}, Y={a, b, d}, Z={b, c}. Найти множества:
а)
б)
в)X(YZ);
г) (XY)(XZ);
д) XY;
е)
ж)
з) (XY)Z;
и) X(YZ);
к)
л) (X\Z)(Y\Z).
4. Даны два произвольных множества A и B такие, что AB=. Что представляют собой A\B и B\A?
5.
Даны два произвольных множества С
и D
такие, что С
=.
Что можно сказать о CD,
CD?
1.3 Диаграммы (круги) Эйлера-Венна
Диаграммы (круги) Эйлера-Венна – геометрические представления множеств. Построение диаграммы заключается в изображении большого прямоугольника, представляющего универсальное множество U, а внутри его – кругов (или каких-нибудь других замкнутых фигур), представляющих множества.
Пример 1. Представить
множество
A(B
)диаграммой
Эйлера-Венна.
Геометрическое представление соответствующей диаграммы, показано на рис 1.6.
Пример 2. Проиллюстрировать на конкретных множествах и с помощью диаграммы Эйлера-Венна справедливость соотношения
A(BC)=(AB)(AC)
Пусть U={a, b, c, d, e}.
A={a, b}, B={a, c, d}, C={b, c, d, e}. Тогда:
левая часть равенства
A(BC)={a, b}({a, c, d}{b, c, d, e})={a, b}{a, b, c, d, e}={a, b};
правая часть равенства
(AB)(AC)=({a, b}({a, c, d})({a, b}{b, c, d, e})={a}{b}={a, b}.
Таким образом, левая и правая части соотношения совпадают, т.е. равенство подтверждено.
Построим теперь диаграммы Эйлера-Венна. Из аудентичности диаграмм очевидно равенство левой и правой частей иллюстрируемого соотношения на рис. 1.7.
