Вопросы для самопроверки и упражнения:

1. Какой тип имеет функция ¦(x)=sinx, при котором для ¦ существует обратная функция ¦ ^–1?

2. Чему равна композиция функций ¦(x) и g(x), если:

а) ¦(x)=2x и g(x)=lgx;

б) ¦(x)=x³ и g(x)=

в) ¦(x)=2^x и g(x)=x+1?

Каковы области определения функций и их композиций?

3. Функции ¦ и g имеют тип ¦: A²B и g: B⁵C. Какой тип имеют функции h₁ и h₂, являющиеся композициями ¦ и g:

а) h₁=g(x₁, ¦(y₁, y₂), ¦(z₁, z₂), x₄, x₅);

б) h₂=g (x₁, x₂, ¦(y₁, y₂), x₄, ¦(z₁, z₂);

в) h₂=g (¦(y₁, y₂), x₂, ¦(z₁, z₂), ¦(u₁, u₂), x₅)?

4. Найти композицию преобразований:

3.3 Операции

В общем случае n-местная функция типа : MM…MM (или : MⁿM) называется n-арной операцией на множестве M. В таких случаях говорят, что множество M замкнуто относительно операции  (результат выполнения операции j на M принадлежит M).

Свойства бинарных операций:

1) j – ассоциативна, если для любых a, b, c из M

(a j b) j c = a j (b j c);

2) j – коммутативна, если для любых a, b

a j b = b j a;

3) j – дистрибутивна слева относительно операции , если для любых a, b, c

a j (b  c) = (a j b) y (a j c)

и j дистрибутивна справа относительно операции y, если для любых a, b, c

(a y b) j c = (a j с) y (b j c).

Способы задания операций. Так как операция является функцией, то для ее задания применимы любые способы задания функций, перечисленные в предыдущем параграфе.

1. Способы задания унарных операций j: MM на конечном множестве M={a₁, a₂, …, a_n}:

• Перечнем всех аргументов a из M и соответствующих им значений b, a,bM, представленных строкой

j=(a₁b₁, a₂b₂, …, a_nb_n),

а чаще парой строк:

• Списком всех пар “аргумент-значение” (a, b)j, a,bM, для всех возможных значений аргументов:

j={(a₁, b₁), (a₂, b₂), …, (a_n, b_n)}.

Число таких пар |пр₁j|=m|M|=n.

• Формулой j(а)=b, например lga=b.

2. Способы задания бинарных операций : MMM на конечном множестве M={a₁, a₂, …, a_n}:

• Таблицей Кэли – для чего слева и сверху таблицы выписываются все значения аргументов a и b из множества M соответственно, а на пересечении строки, соответствующей аргументу a, и столбца, соответствующего аргументу b, записывается результат с операции j над a и b. На рис. 3.2 приведена таблица Кэли для операции, называемой “сложением по модулю 3” на множестве M={0, 1, 2} и обозначаемой “mod 3”, или ₃ (результат с выполнения операции ₃ равен остатку от деления суммы аргументов (a+b) на 3).

• Списком всех троек (a, b, c), где j(a, b)=c, a,b,cM. Для всюду определенной операции число всех троек в списке равно |MM|=n². Например, для операции сложения по модулю 3: ₃={(0, 0, 0), (0, 1, 1), (0, 2, 2), (1, 0, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 0), (2, 0, 2), (2, 1, 0), (2, 2, 1)}.

• Формулой j(a, b)=c – так называемое префиксное представление операции; иное – инфиксное – представление бинарной операции формулой a j b=c, a Å₃ b=c, где Å₃ – операция сложения по модулю 3.

Пример 1. Пусть операции композиции , объединения и пересечения  определены на множестве бинарных отношений Доказать:

а) ассоциативность операции композиции (составного отношения)

R₁(R₂R₃)=(R₁R₂)R₃;

б) дистрибутивность слева композиции относительно объединения:

R₁ (R₂R₃)=(R₁R₂)(R₁R₃);

в) дистрибутивность справа композиции относительно объединения:

(R₁R₂)R₃=(R₁R₃)(R₂R₃);

г) дистрибутивность слева композиции относительно пересечения:

R₁(R₂R₃)=(R₁R₂)(R₁R₃);

д) дистрибутивность справа композиции относительно пересечения:

(R₁R₂)R₃=(R₁R₃)(R₂R₃).

Так как бинарное отношение RMM, по определению, является множеством пар (a, b)R прямого произведения M´M, то для дока-зательства справедливости свойств а) – в) можно воспользоваться определением равенства множеств: A=B  (AB)(BA).

а) R₁(R₂R₃)=(R₁R₂)R₃.

Пусть пара элементов a,bM и (a, b)R₁(R₂R₃), (a, b)(R₁R₂)R₃ и наоборот. Действительно:

(a, b)R₁(R₂R₃)  (a, с)R₁ и (с, b)R₂R₃ Û

Û (a, с)R₁ и (с, d)R₂ и (d, b)R₃ Û

Û (a, d)R₁R₂ и (d, b)R₃ Û (R₁R₂)R₃,

где с,dM.

Доказанное позволяет опускать скобки, т.е.

R₁(R₂R₃)=(R₁R₂)R₃=R₁R₂R₃.

б) R₁(R₂R₃)=(R₁R₂)(R₁R₃).

Пусть a,bM и (a, b)R₁(R₂R₃). Тогда

(a, b)R₁(R₂R₃) Û (a, с)R₁ и (с, b)R₂R₃ Û

Û (a, с)R₁ и [(c, b)R₂ или (c, b)R₃] Û

Û [(a, с)R₁ и (c, b)R₂] или [(a, с)R₁ и (c, b)R₃] Û

Û (a, b)R₁R₂ или (a, b)R₁R₃ Û (R₁R₂)(R₁R₃),

где сM.

Аналогично доказывается свойство в).

г) R₁(R₂R₃)=(R₁R₂)(R₁R₃).

Пусть a,bM и (a, b)R₁(R₂R₃). Тогда

(a, b)R₁(R₂R₃) Û (a, с)R₁ и (с, b)R₂R₃ Û

Û (a, с)R₁ и [(c, b)R₂ и (c, b)R₃] Û

Û [(a, с)R₁ и (c, b)R₂] и [(a, с)R₁ и (c, b)R₃] Û

Û (a, b)R₁R₂ и (a, b)R₁R₃ Û (R₁R₂)(R₁R₃) ,

где сM.

Аналогично доказывается свойство д).

Пример 2. Какими свойствами отличаются операции  и , заданные таблицами Кэли (рис. 3.3)?

1. Проверим операции  и  на коммутативность:

а) ab=ba? б) ab=ba?

ab. a=a.

Операция Ä – некоммутативна, Ä – коммутативна.

2. Проверим операции на ассоциативность:

а) Операция Ä неассоциативна, так как не выполняется, например:

(bÄa)Äb=bÄ(aÄb)?

bÄb=bÄa?

ab.

б) Операция Ä ассоциативна, так как соответствующее условие выполняется для всех возможных троек аргументов a, b из M:

(aÄa)Äa=aÄ(aÄa)? (aÄb)Äa=aÄ(bÄa)?

bÄa=aÄb? aÄa=aÄa?

a=a. b=b.

(aÄa)Äb=aÄ(aÄb)? (aÄb)Äb=aÄ(bÄb)?

bÄb=aÄa? aÄb=aÄb?

b=b. a=a.

(bÄa)Äa=bÄ(aÄa)? (bÄb)Äa=bÄ(bÄa)?

aÄa=bÄb? bÄa=bÄa?

b=b. a=a.

(bÄa)Äb=bÄ(aÄb)? (bÄb)Äb=bÄ(bÄb)?

aÄb=bÄa? bÄb=bÄb?

a=a. b=b.

Операция Ä – неассоциативна, тогда как Ä – ассоциативна.

3. Проверим операции на дистрибутивность.

а) Дистрибутивность слева и справа Ä относительно Ä не выпол-няется, так как, например:

aÄ(aÄa)=(aÄa)Ä(aÄa)? (aÄa)Äb=(aÄb)Ä(aÄb)?

aÄb=aÄa? bÄb=aÄa?

ab. ab.

б) Дистрибутивность слева и справа Ä относительно Ä также не выполняется, так как, например:

aÄ(aÄa)=(aÄa)Ä(aÄa)? (aÄa)Äa=(aÄa)Ä(aÄa)?

aÄa=bÄb? aÄa=bÄb?

ba. ba.

Операции Ä и Ä не дистрибутивны слева и справа относительно друг друга.

Таким образом, операция Ä – некоммутативна, неассоциативна и недистрибутивна (относительно операции Ä); операция Ä – коммутативна, ассоциативна, но недистрибутивна (относительно операции Ä).