Вопросы для самопроверки и упражнения:

1. Каковы свойства соответствия G между множеством N натураль-ных чисел и множеством M₂n натуральных четных чисел:

GNM₂n; G={(n, 2n): nN, 2nM₂n }.

2. Используя определение равномощности множеств, показать, что множество M₂n натуральных четных чисел счетно.

3.2 Функции и отображения

Функцией называется функциональное соответствие. Если функция  устанавливает соответствие между множествами A и B, то говорят, что функция имеет тип AB (обозначается : AB, т.е. ¦(а)=b).

Отображением A в B называется всюду определенная функция ¦: AB. Отображением A на B называется всюду определенное и при этом сюръективное функциональное соответствие ¦: A®B.

Отображение типа A®A часто называют преобразованием множества A. Функция типа A®A, являющаяся отображением A на A, называется перестановкой на A.

Таблица 3.1

Соответствие	Обязательное свойство
	функциональное	всюду определенное	сюръективное
Функция Отображение A в B Отображение A на B	+ + +	+ +	+

Функции ¦ и g равны, если:

• их области определения – одно и то же множество A;

• для любого aA ¦(a)=g(a).

Функция типа ¦: А₁А₂…А_nB называется n-местной: ¦(a₁, ..., a_n)=b, где a₁A₁, …, a_nA_n, bB.

Пусть GAB. Тогда соответствие HBA называется обратным к G (обозначается G^–1), если H таково, что (b, a)H тогда и только тогда, когда (a, b)G.

Если соответствие, обратное к функции ¦: A®B, является функцио-нальным, то оно называется функцией, обратной к ¦ (обозначается ¦^–1).

Пусть даны функции ¦: A®B и g: B®C. Функция h: A®C называется композицией функций ¦ и g (обозначается ¦_g): если имеет место равенство

¦_g(х)=h(x)=g(¦(x)), где xA.

Часто говорят, что функция h получена подстановкой ¦ в g. Для многоместных функций ¦: A^m®B, g: Bⁿ®C возможны различные варианты подстановки ¦ в g, дающие функции различных типов. Например, при m=3 и n=4 функция h=g(x₁, ¦(y₁, y₂, y₃), x₃, x₄) имеет шесть аргументов и тип BA³´B²С.

Функция, полученная из ¦₁, ..., ¦_n некоторой подстановкой их друг в друга и переименованием аргументов, называется суперпозицией ¦₁, ..., ¦_n. Выражение, описывающее эту суперпозицию и содержащее функциональные знаки и символы аргументов (и, разумеется, скобки), называется формулой.

Способы задания функции:

1. графиком;

2. таблицей;

3. формулой, описывающей функцию как суперпозицию других (исходных) функций;

4. рекурсивной вычислительной процедурой. Например, функция ¦(x)=123…  (x–1)x=x! описывается рекурсивной вычислительной процедурой, задаваемой следующими правилами:

1) ¦(0)=1; 2) ¦(x+1)=¦(x)  (x+1).

Пример 1. Таблица выигрышей лотереи устанавливает соответ-ствие G между парами чисел из NN=N² (серия, номер выигравшего билета) и множеством выигрышей M, т.е. GN²M. Является ли задан-ное соответствие функцией, и если – да, то какой?

Соответствие GN²M, задаваемое таблицей выигрышей, является функциональным, так как для каждой указанной пары из N² (серии, номера билета) определен конкретный (единственный) выигрыш из M. Таким образом, данное соответствие есть двухместная функция ¦: NNM. Функция такого типа не всюду определена, значит не является отображением. Более того, как правило, число выигравших билетов (мощность области определения пр₁¦) больше перечня наименований выигрышей (мощности области значений пр₂¦), поэтому данная функция не обладает единственностью прообраза. В силу сказанного ¦ не является взаимно однозначным соответствием.

Таким образом, таблица выигрышей лотереи определяет функцию ¦: NNM, которая не является отображением и тем более – взаимно однозначным соответствием.

Пример 2. Задать несколько возможных типов для функции ¦(n)=2ⁿ. Для каждого типа определить:

• свойства функции ¦;

• является ли ¦ отображением и, если является, то каким?

1. Пусть тип функции ¦: NN. Тогда ¦(n)=2ⁿ всюду определена, так как пр₁¦=N, но не сюръективна, поскольку пр₁¦=M₂nN (M₂n – множество натуральных чисел, являющихся степенями двойки). Следовательно, функция ¦ является отображением N в N.

2. ¦: NM₂n. Тогда функция ¦ всюду определена и сюръективна, следовательно, является отображением N на M₂n.

3. ¦: NR. Функция ¦ всюду определена, но не сюръективна, т.е. ¦ есть отображение N в R.

4. ¦: R₊N. Функция ¦ частично определена и сюръективна, поскольку область значений ¦(n)=2ⁿ при заданном типе функции ¦ представляет множество натуральных чисел, т.е. пр₂¦=N, значит не для всех xR₊ функция ¦ определена, т.е. пр₁¦R₊. Следовательно, ¦: R₊N не является отображением.

5. ¦: RR. Функция ¦ всюду определена, но не сюръективна (¦ не имеет отрицательных значений). Следовательно, ¦ – отображение R в R.

6. ¦: RR₊. Функция ¦ всюду определена и сюръективна, т.е. явля-ется отображением R на R₊.

Кроме названных свойств во всех случаях ¦ есть функциональное соответствие, а для случаев 2 и 6 – взаимно однозначное.

Пример 3. Чему равна композиция функций ¦(x)=2x и g(x)=1+x?

Пусть функции ¦(x)=2x и g(x)=1+x имеют тип RR. Тогда их композиции возможны в произвольном порядке. Композиция функций ¦_g=h₁ представляет собой подстановку ¦ в g, т.е.

h₁=¦_g=g(¦(x))=1+¦(x)=1+2x.

Композиция ¦_°g=h₂ есть функция, полученная подстановкой g в ¦, т.е.

h₂=g_¦=¦(g(x))=2g(x)=2(1+x)=2+2x.

Пример 4. Функции ¦ и g имеют тип ¦: A³B и g: B⁴C. Какой тип имеют функции h₁ и h₂, являющиеся композициями ¦ и g:

а) h₁=g(x₁, ¦(y₁, y₂, y₃), x₃, x₄);

б) h₂=g (¦(y₁, y₂, y₃), ¦(z₁, z₂, z₃), x₃, x₄)?

Функция h₁ содержит шесть аргументов и ее тип

h₁: BA³´B²С.

Функция h₂ содержит восемь аргументов, ее тип

h₂: A³A³´B²С или h₂: A⁶B²С.

Пример 5. Дано множество A={a, b, c, d} и два преобразования этого множества (т.е. функции типа AA, являющейся отображе- нием A в A):

=(13, 23, 31, 42); =(12, 21, 31, 43).

Обычно преобразования конечных множеств записываются так:

Чему равна композиция преобразований?

Композиция преобразований – это новое преобразование: