3. Соответствия

3.1 Соответствия и их свойства. Основные определения

Соответствие G между множествами A и B: GAB. Если (a, b)G, то говорят , что “b соответствует a при соответствии G”.

Область определения соответствия G – множество пр₁G={a: (a, b)G}. Область значений соответствия G – множество пр₂G={b: (a, b)G}.

Свойства соответствий GAB:

• Всюду (полностью) определенное соответствие – если пр₁G=A. Частично определенное соответствие – в противном случае.

• Сюръективное соответствие – если пр₂G=B.

Образом элемента a в множество B при соответствии G называется множество всех bB, соответствующих элементу aA. Прообразом элемента b в множество A при соответствии G называется множество всех aA, которым соответствует bB.

Образом множества Cпр₁G называется объединение образов всех элементов aC. Прообразом множества Dпр₂G называется объеди-нение прообразов всех элементов bD.

• Функциональное (однозначное) соответствие – если образом любого элемента a из области определения пр₁G является единственный элемент b из области значений пр₂G.

• Взаимно однозначное соответствие – если оно: а) всюду опреде-лено; б) сюръективно; в) функционально; г) прообразом любого элемента b из области значений пр₂G является единственный элемент a из области определения пр₁G.

• Если между множествами A и B существует взаимно однозначное соответствие, то мощности этих множеств равны, т.е. |A|=|B|. В таком случае говорят, что множества A и B равномощны.

Множества, равномощные множеству натуральных чисел N, назы-ваются счетными. Множества, равномощные множеству вещественных чисел R, называются континуальными.

Замечание. Разница между понятиями соответствия и отношения следующая: соответствие имеет направление от области определения (отправления) к области значений (прибытия); если (a, b)G, то первой компоненте пары а соответствует вторая компонента пары b; элементы а и b не равноправны.

Отношения характеризуют свойства пар из M²; если а  b, то элементы а и b при этом равноправны, просто пара (а, b) обладает свойством .

Бинарное отношение на множестве является частным случаем соответствия.

Пример 1.Пусть G – множество всех пар действительных чисел (x, y), удовлетворяющих соотношению (x–3)²+(y–2)²1. Графически такое соответствие G представляет собой круг радиуса 1 с центром в точке (3, 2). Таким образом, круг G задает соответствие между R и R (осью абсцисс и осью ординат, рис 3.1).

Определить, чему равны:

а) образы и прообразы чисел 2, 3, 4;

б) образы и прообразы отрезков [2, 3], [2, 4].

Каковы свойства соответствия G?

а) Образом числа 2пр₁G (на оси абсцисс) при соответствии G (см. рис. 3.1) является единственное число 2пр₂G (на оси ординат). Образ числа 3 при соответствии G есть множество всех действительных чисел отрезка [1, 3], а образ числа 4 – число 3.

Прообразом числа 2пр₂G (на оси ординат) при соответствии G будет множество всех действительных чисел отрезка [2, 4]пр₁G (на оси абсцисс), прообразом числа 3 при соответствии G – число 3, а прообраза числа 4 при соответствии G не существует.

б) Образом множества чисел отрезка [2, 3] пр₁G является объедине-ние образов всех чисел отрезка, т.е. отрезок [1, 3]пр₂G. Аналогично образом отрезка [2, 4] будет отрезок [1, 3] при соответствии G.

Прообраз отрезка [2, 3] при соответствии G – это отрезок [2, 4], а прообраз отрезка [2, 4] – также [2, 4].

Если допустить, что соответствие G установлено на множестве действительных чисел, т.е. GRR, то оно является:

• частично определенным, так как пр₁GR (пр₁GR);

• не сюръективным, поскольку пр₂GR (пр₂GR);

• не функциональным, ибо для любого числа отрезка [2, 4]=пр₁G (кроме чисел 2, 4) отсутствует единственность образа;

• не взаимно однозначным, так как отсутствуют необходимые условия: G не является всюду определенным на R, не сюръективно, не функционально, а также для любого числа отрезка [1, 3]=пр₂G (кроме чисел 1, 3) отсутствует единственность прообраза.

Если определить соответствие G[2, 4][1, 3], то, очевидно, оно будет всюду определенным и сюръективным, однако останется не функциональным и не взаимно однозначным.

Пример 2. Пусть множества (U), где U={a, b, c}, и B₃ определены следующим образом:

(U) – множество всех подмножеств (булеан) множества U={a, b, c};

B₃ – множество всех двоичных векторов длины 3, т.е. B₃=AAA, где A={0, 1}.

Показать, что между множествами (U) и B₃, где U={a, b, c}, имеет место взаимно однозначное соответствие.

(U)={, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}; |(U)|=8.

B₃={(000), (001), (010), (011), (100), (101), (110), (111)}; |B₃|=8.

(для упрощения обозначений запятые между компонентами векторов опущены).

Установим следующее соответствие G между множествами из (U) и векторами из B₃:

• если в множестве из (U) присутствует элемент а, то в соответ-ствующем ему векторе из B₃ первая компонента равна 1, а если отсутствует – то 0;

• если в множестве из (U) присутствует элемент b, то в соответ-ствующем ему векторе из B₃ вторая компонента равна 1, а если отсутствует – то 0;

• аналогичное соответствие установим между элементом с в мно-жестве из (U) и значением третьей компоненты вектора из B₃.

Например, множеству {b} из (U) соответствует вектор (010) из B₃, множеству {a, c} – вектор (101) и т.д.:

G: (000), {a}(100), {b}(010), {c}(001), {a, b}(110), {a, c}(101), {b, c}(011), {a, b, c}(111).

Очевидно, что установленное таким образом соответствие G является взаимно однозначным, так как выполняются все условия для взаимно однозначного соответствия.

Пример 3. Каковы свойства соответствия между множеством N натуральных чисел и множеством M₂n степеней двойки:

G={(n, 2^n–1): nN, 2^n–1M₂n }NM₂n?

Соответствие G взаимно однозначно:

• всюду определено, так как пр₁G=N;

• сюръективно, поскольку пр₂G=M₂n;

• функционально, так как любому nN соответствует единствен-ный образ 2^n–1M₂n ;

• характеризуется единственностью прообраза, ибо для любого 2^n–1M₂n существует единственное nN;

Пример 4. Используя определение равномощности множеств, показать, что множество M₂n натуральных чисел, являющихся степенями двойки, счетно.

Для доказательства следует установить взаимно однозначное соответствие между множествами M₂n и N. Если каждому натуральному nN поставить в соответствие число 2^n–1M₂n, то установленное таким образом соответствие GNM₂n, очевидно, является взаимно однозначным (удовлетворяет всем требованиям для взаимно однозначного соответствия, см. пример 3) и представляет множество всех векторов G={(n, 2^n–1): nN}. А так как мощность множества N счетна, то из установленной взаимной однозначности между множествами N и M₂n, согласно определению равномощности бесконечных множеств, следует, что множество M₂n также счетно.