Вопросы для самопроверки и упражнения:

1. Назвать отношения , R^–1, R⁽²⁾, R, R*, если отношение R означает:

а) “быть братом”, в) “жить в одном городе”,

б) “быть сыном”, г) “быть часть целого.

Каковы свойства отношений?

2. Пусть на множестве M={1, 2, 3, 4} определено отношение R – “быть больше”. Выполнить операции над отношением R; задать полученные в результате операций отношения характеристическим свойством, списком, а также назвать отношения. Сравнить отношения; определить их свойства.

3. Пусть на множестве M={1, 2, 3, 4, 5, 6} определено отношение R. Задать матрицами отношения R,,R^–1, R, R*, если R означает соответственно:

а) R₁ – “быть меньше”;

б) R₂ – “отличаться на 1”;

в) R₃ – “иметь общий делитель, отличный от 1”.

4. Пусть отношения R₁, R₂, R₃, заданные на N:

R₁={(a, b): a<b}, R₂={(a, b): a=b}, R₃={(a, b): ab}.

Выполнить операции над R₁, R₂, R₃.

5. Пусть R₁ и R₂ – отношения на N из примера 5. Определить области определений и значений R₁ и R₂, а также составных отношений R₁R₂, R₂R₁, R₁⁽²⁾ , R₁⁽ⁿ⁾ , R₂⁽ⁿ⁾ .

6. Пусть M={1, 3, 5, 7} и отношение RMM. Задать списком отно-шение R, обратное отношение R^–1, дополнение , транзитноеR и реф-лексивное R* замыкания, если:

а) R={(a, b): ab}; г) R={(a, b): (a+b–1)M};

б) R={(a, b): a+2=b}; д) R={(a, b): a–1=b};

в) R={(a, b): (a+b)/2M}; е) R={(a, b): (2a+b)M}.

7. Пусть M={a, b, c} и (M) – множество всех подмножеств множества M. Задать списком отношение R, заданное на (M), а также отношения , R^–1, R, R*, если:

а) R={(A, B): AB}; г) R={(A, B): AB};

б) R={(A, B): AB}; д) R={(A, B): AB=};

в) R={(A, B): AB}; е) R={(A, B): AB= и AB=U}.

8. Пусть на множестве M={1, 2, 3, …, 11} определено отношение R₁ – “быть непосред-ственно связанным с”, графически проил-люстрированное рис. 2.7. Исходя из дан-ных рисунка, задать матрицами отношения R₁ – “быть непосредственно связанным с” и R₂ – “быть связанным с” на множестве M. Убедиться (используя определение I транзитивного замыкания) в том, что транзитивным замыканием отношений R₁ и R₂ является отношение R₂ – “быть связанным с”, т.е. R₁=R₂=R₂. Определить свойства отношений.

9. Отношение R на множестве M={a, b, c, d} задано матрицей на рис. 2.8. Каковы свойства отношения R? Почему отношение R нетранзитивно? Как будет выглядеть матрица его транзитивного замыкания R?

Какова матрица рефлексивного замыкания R* отношения R?

10. Пусть R₁ и R₂ – отношения на M={a, b, c, d}, заданные матрицами. Осуществить опера-ции над отношениями R₁ и R₂ (рис. 2.9). Определить свойства исходных и полученных отношений.

11. Пусть отношение RMM задано матрицей, M={1, 2, 3, 4} (рис. 2.10, варианты а) – в)). Определить матрицы отношений R, , R^–1, R⁽²⁾, R, R*. Каковы свойства исходных и полученных отношений?

12. Каковы свойства отношений, заданных матрицами на рис. 2.11.

К какому типу отношений относятся данные отношения? Выполнить унарные операции над отношениями и определить их свойства.

13. Пусть R₁ и R₂ – отношения на M={a, b, c, d}, заданные матрицами (рис. 2.12, варианты а), б)). Осуществить операции над отношениями R₁ и R₂. Определить свойства исходных и полученных отношений.