Оглавление

Предисловие ……...………………………………………………... 4

1. Множества ………………………………………………..…..…. 5

1.1 Основные понятия ……………………………………..…..… 6

1.2 Операции над множествами …………………………..…..… 8

1.3 Диаграммы (круги) Эйлера-Венна …………………......…… 10

1.4 Доказательства …………………………………………..…… 12

1.5 Векторы, прямые произведения, проекции векторов …....... 15

2. Отношения ………………………………………………..…...… 20

2.1 Бинарные отношения. Основные определения …………..... 20

2.2 Свойства бинарных отношений …………………………….. 26

2.3 Эквивалентность и порядок ……………………………….… 31

2.4 Операции над бинарными отношениями …………………... 34

3. Соответствия ……………………………………….…………… 43

3.1 Соответствия и их свойства. Основные определения …….. 43

3.2 Функции и отображения …………………………………….. 46

3.3 Операции …………………………………………..…………. 50

3.4 Гомоморфизмы и изоморфизмы ……………………………. 55

Список литературы ………………………………….……….…… 65

Предисловие

Теория множеств составляет фундаментальную основу современной дискретной математики.

В пособии рассматриваются основные понятия из теории множеств: множества, элемент, отношения, соответствия, характеризующиеся определенными свойствами и допустимыми операциями над ними.

Построенный по принципу решебника практикум содержит сжатое изложение известных результатов, достаточных для раскрытия основ-ных понятий и демонстрации методов решения рассматриваемых задач.

Анализ разнообразной по уровню изложения современной учебной литературы по теории множеств позволил указать наиболее удачные первоисточники как в подборе задач, так и демонстрации методов их решения.

Материал практикума представляет студентам возможность самостоятельно освоить основные положения курса “Дискретная математика” (Часть I. Введение в теорию множеств), приобрести и закрепить практические навыки решения задач.

Пособие содержит задачи для аудиторных занятий, расчетно-графических работ и самостоятельной работы студентов.

Рекомендуемая литература представляет информационную и учебно-методическую базу дискретной математики для углубления и расширения приобретенных навыков в решении рассматриваемых задач по теории множеств.

1. Элементы теории множеств

Состав объекта изучения может быть представлен в виде некоторого множества. Множество – основное понятие в теории множеств, которое вводится без определения. О множестве известно как минимум то, что оно состоит из элементов.

Основные обозначения

1. Множество:

N – всех натуральных чисел;

Z – всех целых чисел;

Z ⁺ – целых неотрицательных чисел (Z ⁺=N{0});

Z ^– – целых неположительных чисел (Z ^– = Z\N);

Q – всех рациональных чисел;

 – всех иррациональных чисел;

R – всех действительных чисел;

R ⁺ – неотрицательных действительных чисел;

R ^– – неположительных действительных чисел.

2. xA (xA) – элемент x принадлежит (не принадлежит) множеству A;

A={x| P(x)} – множество элементов x, удовлетворяющих свойству P;

A=B  (A B и B A) – равенство множеств A и B;

AB  (x) (xA  xB) – множество A (нестрого) включается в множество B (А есть подмножество B);

A  B  A B и А≠B – множество А (строго) включается в множество B;

U – универсальное множество (универсум);

={x| x≠x} – пустое множество.

3. АB={x| xA и xB} – операция пересечения множеств A, B;

АB={x| xA или xB} – операция объединения множеств A, B;

А\B={x| xA и xB} – операция разности множеств A, B;

А∆B=(A\B)(B\A) – симметрическая разность множеств A, B;

XY – декартово (прямое) произведение множества X на Y;

Xⁿ – n-ая декартова степень множества X;

P (U)={A| AU} – множество (булеан) всех подмножеств универсума U;

|A| – мощность – число элементов (конечного) множества A;

card A – мощность бесконечного множества A;

₀ – мощность счетного множества;

C – мощность континуума;

 – символ изоморфизма алгебраических систем.

4. Логические операции (союзы) с высказываниями P, Q:

 – отрицание: P означает: “не P”, ”неверно, что P”;

 – конъюнкция, PQ:=”P и Q”;

 – дизъюнкция, PQ:=”P или Q”;

 – импликация, PQ:=”если P, то Q”;

 – эквиваленция (равнозначность) , PQ:=”P тогда и только тогда, когда Q”.