1.6 Аналитические формы представления фал. Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы
Если x
– логическая
переменная,
,
то выражение
называетсялитерой.
Элементарной конъюнкцией (конъюнктом) называется конъюнкция литер.
Э
10
=x
p/z
¬y
x
p
z
x
y
z,
=p
y
y/x
z
p
¬y
z,
=p/z
x
y
y
p
¬(x
y
z),
=y
z
p
x
z
p
y/¬y
z,
=¬z
y
p
x
z
p
z
y/x,
=x/y
p
x
z
x
y
¬z
x
z,
=z
y
x
z
p
x
z/y
¬p,
=y
z
p
x
z
p
y/¬p
z,
=p
x/z
y
p
z
y
z
¬x,
=x/y
z
p
x
y
¬z
p
y
z,
=z
p
y
z
x
p
y
z/¬x,
=¬x/z
y
x
z
p
y
p,
=x
y
x
¬p
x/y
z
p
z,
=p/z
y
x
p
¬z
y
z
x,
=y
z
p
¬x
x
y/z
x
y
p,
=z/x
¬y
p
x
y
z
x
p,
=x
y
z
p/x
y
x
z
¬(y
p),
=x/z
p
x
p
x
¬z
p
y,
=x/z
y
p
x
y
¬z
p/x
z,
=y/p
x
y
¬p
z
x
z
x,
=¬p
y
z
p
y
z/x
p,
=p
z
¬y
z
p/x
z
y
x,
=x
y
z
x
y
z
y
¬p/x,
=z/x
p
y
¬x
y
z
x
p,
=y
x
z
p
y
x
y
¬z/x
p,
=z
y
x/y
¬z
x
y
z
p,
=x
¬y
z
x
p
y/z
x
y,
=x
y
z
p
x
y/x
¬z
y,
31
=p
x
y/z
p
y
x
z
¬y
p.
Пример 1-2.
Пусть требуется представить в виде
таблицы следующую функцию:
&
.
Будем вычислять
функцию
последовательно.
|
|
|
|
|
|
|
[ ] |
|
{ } |
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1.3 Выражение одних элементарных функций через другие
Формулы
и
называются
эквивалентными (
),
если совпадают их таблицы истинности.
Для доказательства эквивалентности
формул будем пользоваться единообразным
методом: непосредственная проверка
совпадения функций, образующих правую
и левую стороны доказываемого соотношения.
Пример 1-3. Доказать эквивалентность:
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
(1 – 3)
Аналогично
убеждаемся:
.
(1 – 4)
&(
(1 – 5)
.
(1 – 6)
(1 – 7)
Справедливость этой формулы вытекает из формул (1 – 4) и (1 – 5).
Формулы де Моргана:
а)
(1 – 8)
8 33
(1 – 9)
2.
Аналитическим
способом,
т.е. на основе формул взаимосвязи между
логическими операциями, докажите
справедливость ниже приведенных
тождеств. Затем с помощью диаграмм
Эйлера – Венна подтвердите справедливость
этого доказательства; представьте одно
из выражений (предварительно его
упростив) в базисе элементарных функции.
В наборе номеров базисных функции должны
фигурировать цифры вашего варианта.
Например, для варианта 12 могут быть
взяты следующие функции:
,
,
.
Недостающие функции отбираются на
основе теории классов.
((a | b) | (a ~ b)) | ((c + d)
(d
– c)) =((d
c)
(a
– c))
((a|d)
| (d
)),((a
)
(b
– c))
((a
| d) – (b
d)) = ((a | b) | (a +
))
((c
+ d)
(d
c)),((a
b)
(a
+ b)) – ((c–d)
(c~d))
= ((c
a)
(c
b))
((a
d)
(b
d)),((a ~ b) – (a
b))
((c ~ d)
(c – d)) = ((c – a)
(c – b)) | ((a
d)
(b
d)),((a
b)
(a
+ b)) – ((d – c)
(d ~ c)) = ((a
c)
(b
c))
((a
|d) | (b | d)),((a
b) – (a + b))
((c
– d)
(c
~ d)) = ((c – a)
(c
– b))
((a
d) – (b
d)),((d
b)
(
–
b))
((c
a) | (d
a))
= ((
|
d) | (c + d)) | ((a ~b)
(
–b)),((a | b) – (
+
))
((d
– c)
(c~
d)) = ((
)
(b–
))
((a
b)
– (b–c)),((c – a)
(c
~a)) – ((d – b)
(d ~ b)) = ((a
b)
(c
b))
((d
– a)
(c
d)),((c ~ b) – (b
c))
((
~
)
(a
– d)) = ((b
d)
(c
d))
| ((a – b)
(a
– c)),((a– d)
(a
~ d)) – ((b – c)
(b
~ c)) = ((b
d)
(a
| b))
((c
d)
| (a
c)),((a
d)
(c
d))
((a
b)
– (a – c)) = ((b
c)
– (b + c))
((a
– d)
(a
~ d)),((c
d)
| (c+d)) | ((a~b)
(a
b))
= ((a
)
(a–d))
((b
d)|(b
)),((b
d)
(b
c))
((d
a)
– (c–a))=((c | d) | (
~
))
((a + b)
(b
a)),((d – a)
(d
~ a)) – ((c– b)
(
+b))
= ((a
b)
(d
b))
((c
d)
(c – a)),((c
d)
– (c ~ d))
((a
b)
(a
+ b)) = ((b
c)
(b– d))
((a | c) – (a – d)),((
b)
(d
b))
((a
d)
|(a
c))=((c
d)
| (c~ d)) |((
+
)
(a–b)),((a
c)
(b–
))
((c
d)
– (b – d))=((b | c) | (b ~ c))
((a
+ d)
(a
d)),((b
)
(
+d))
– ((a –c)
(a~c))=((
b)
(d
c))
((a–
b)
(a
d)),((d
a)
(b
d))
| ((a – c)
(b–c)) = ((a +
)–
(b
a))
((
~
)
(d– c)),((a
b)
(
~b))–((c
– d)
(c~d))=((
d)
(
b))
((c
a)|(c
b)),((c
a)
– (a+
))
((d–b)
(b~d))=((a
b)
(c
– d))
((d
a) – (c
d)),
задавать функцию алгебры логики. На рис. 1-1 вершины, относящиеся к подмножеству Т1 , зачерчены.