Алгоритм нахождения сднф путем тождественных преобразований

1. Исходную формулу заданной функции приводим с помощью эквивалентных преобразований к ДНФ.

2. Конъюнкты ДНФ преобразовываем в конституенты единицы по следующим правилам:

а) если в конъюнкт входит некоторая переменная вместе со своим отрицанием, то этот конъюнкт удаляется из ДНФ;

б) если в конъюнкт одна и та же литера входит несколько раз, то удаляются все литеры, кроме одной;

в) если в некоторый конъюнкт не входит переменная, то этот конъюнкт заменяется на эквивалентную формулуи, применяя закон дистрибутивности, приводим полученную формулу к ДНФ; если недостающих переменных несколько, то для каждой из них к конъюнкту добавляем соответствующую формулу вида;

г) если в полученной ДНФ имеется несколько одинаковых конституент единиц, то оставляем только одну из них. В результате получается ДНФ.

Пример 1-10. Найти СДНФ для ДНФ .

Имеем

.

Описание алгоритма привидения КНФ к СКНФ аналогично вышеизложенному описанию алгоритма приведения ДНФ к СДНФ.

Совершенно полиноминальная нормальная форма (спнф).

Существует еще и третья форма представления ФАЛ – совершенная поли номинальная нормальная форма (СПНФ).

Алгоритм построения спнф.

1. Исходную ФАЛ представить в СДНФ.

2. В конституентах единицы СДНФ произвести замену .

3 Знак между конституентами единицы в СДНФ заменить на знак.

4. Окончательно упростить выражение для в СПНФ путем раскрытия скобок, сокращения одинаковых слагаемых при использовании эквивалентностей:.

15

Глава 2. Задания к практическим занятиям, выполнению расчетно-графических работ и для самостоятельной работы по функциям алгебры логики.

2.1 Задачи и упражнения iго – типа *.

1. Доказать, что число всех булевых функций от n аргументов равно .

2. Записать в совершенных ДНФ и КНФ булеву функцию, принимающую значение 1 на наборах с номерами 3,4, 7.

3. Записать в ДНФ и КНФ булеву функцию , принимающую значение 0 на наборах с номерами 2, 6, 7, 8, 11, 12.

4. Проверить справедливость равенства .

5. Проверить справедливость следующих равенств:

6. Показать, что число булевых функций, существенно зависящих от п аргументов, определяется рекуррентным соотношением

где — число булевых функций, зависящих отаргументов.

7. Булева функция , зависящая от трех аргументов, называетсямажоритарной, если имеет место равенство Будем обозначать эту операцию знаком # и записывать

Доказать, что имеют место следующие соотношения:

1)

2)

3)

8. Найти минимальную ДНФ функции , принимающей значение 1 на наборах 0, 1, 2, 5, 6, 7, 8, 12, 13.

9. Найти минимальную ДНФ функции, принимающей значение 1 на наборах с номерами от 0 до 7, от 11 до 21 и от 26 до 31.

10. Функция равна 1 на наборах 1, 3, 4 и не определена на наборе с номером 5. Найти ее минимальную ДНФ.

между всеми компонентами наборов иустановлено соотношение,=. Отметим что при таком определении набор <1, 0, 1, 1> не меньше набора <1, 0, 1, 0>, а наборы <1, 0, 1, 1> и <0, 1, 1, 1> несравнимы.

Определение 6. Функция называется монотонной, если для любых двух наборови, таких, что, имеет место равенство:

4. M – класс монотонных функции. В таблице 1 класс

Число функций этого класса M оценивается асимптотически:

,

где - число монотонных ФАЛ зависящих отn аргументов, а A - некоторая константа.

Определение 7. Функция называется симметричной, если она не изменяется при произвольной перенумерации аргументов:

=,

где - любая перестановка аргументов.

Определение 8. Функция называется линейной, если она представима в следующем виде:

, (1 – 23)

где коэффициенты ,{0,1},=.

5. L – класс линейных функции.

Число членов этого класса равно . В таблице 1 класс. Например,.