2.3 Задачи и упражнения iiIго типа *.
1. Максимально упростите выражения своего варианта, воспользовавшись законами логики Буля. Затем с помощью таблиц истинности сравните ваше упрощенное выражение с исходным.
(a
(
b))
((
(
d))
c))
(a
(b
)),((a
c)
(a
d))
(((c
(c
b))
)
),(
d)
((
c)
(a
c)
(
)
(a
))
(b
d),(a
)
(
)
(
c)
(
b)
(b
c),(a
)
((b
)
(
)
(d
b)
(
d))
(a
),((
)
(a
b))
(d
)
(((
)
c)
(a
b)),(a
)
(
)
(b
c)
(
b)
(c
),((a
(c
(b
c)))
(c
))
(c
(
)
d),((a
)
(
)
(
)
(
d))
((
c)
(c
d)),(a
)
((
d)
(b
d)
(
)
(b
))
(a
c),((d
)
(
)
(c
))
((
b)
(c
b))
(
a),((
)
(b
c))
(
)
(((
)
d)
(c
b)),((a
b)
(
c
d)
(
c
d)
d,((a
b)
(a
))
((
b)
(c
)
(
)
(d
c)),((
c)
(
d)
)
(
b
d)
a,((b
c)
(d
(
))
(
)
((c
b)
(
)),(b
d)
((c
)
(a
c)
(
)
(a
))
(
d),((
d)
(d
a))
((b
)
(
)
(
)
(
a)),(a
)
(((
)
d)
(c
b))
((
)
(c
b)),(((d
(d
c))
)
)
((b
d)
(b
a)),((
(
a))
d))
(b
(c
))
(b
(
c)),((c
)
(
)
(a
c)
(
a))
(b
)
(b
d),(d
(
)
a)
((b
(d
(d
c)))
(d
),(
)
(d
c)
(
c)
(d
)
(b
).
1.4 Свойства конъюнкции, дизъюнкции и отрицания.
Функции конъюнкции и дизъюнкции обладают рядом свойств, аналогичных свойствам обычных операций умножения и сложения. Для этих функций имеют место следующие законы:
1)сочетательный
;
;
2)переместительный
;
3)распределительный
;
Рассмотрим теперь ряд простых, но весьма важных соотношений:
Как обобщение из формул (1 – 8) и (1 – 9) получаем следующие формулы, обычно называемые формулами де Моргана:
(1
– 14)
(1
– 15)
1.5 Свойства сложения по модулю два, импликации и функции Шеффера и Вебба.
Свойства функции сложения по модулю два и функции импликации часто бывают полезными при анализе и синтезе различных дискретных устройств.
(1 – 16)
Имеют место также очевидные соотношения:
(1 – 17)
В отличие от всех ранее рассмотренных функций для импликации не имеют места переместительный и сочетательный законы:
32
9
(1 – 18)
=x
y
p
¬z
x/y
z
p
x,
=y
x
z
p/¬x
y
z
p
x,
=p
y
z
x
y/¬z
p
x
y,
=x
y
z/p
x
¬z
y
p
x,
=z
p
y
p
x/z
p
¬y
x,
=x
¬y
z
p/x
z
y
p
x,
=y
p
¬z
x
y
p/x
y
z,
=x/y
z
p
x
z
p
y
¬z,
=p
z
y
x
y
z
p
x/¬y,
=x
y
z
p
¬x
y
x
z/p,
=y
p
z
x
¬y
z/p
y
x,
=¬p
z/x
y
z
p
x
y
p,
=p
¬z
y
x
y
z/p
x
z,
=¬x
z
p
p
y
z/p
z
y,
=p
x
z/y
x
p
¬z
y
p,
=z
x
y
¬p
x
z/x
y
z,
=x/p
y
z
x
y
z
p
¬x,
=y
p/x
x
z
p
y
p
¬z,
=z
¬y
x/p
z
p
x
y
z,
=p
¬y
z
x
z/p
y
x
y,
=x
y
z/p
x
y
z
p
¬x,
=z
p
x
y
x/z
y
¬p
x,
=y
p
x/z
¬y
x
y
p
z,
=x
y
p
¬z
x
y
z/p
y,
=¬z
p
x
y
x/y
z
p
z,
=x
y
p
z
y
¬x/y
p
z,
=z
p
¬y
z/y
x
y
p
z,
=x
y
z
¬p
x/y
x
z
p,
30
=z
p
y
z
p
x
y/z
¬x,
Пример 1-4.
Формулы:
и
- дизъюнкты. Формулы
и
-
конъюнкты, а
одновременно является и дизъюнктом, и
конъюнктом.
Дизъюнкция конъюнктов называется дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ); конъюнкция дизъюнктов называется конъюнктивной нормальной формой (КНФ).
Пример 1-5.
Формула
- ДНФ, формула
- КНФ, а формула
является одновременно КНФ и ДНФ.
Теорема 3. 1. Любая формула эквивалента некоторой ДНФ.
2. Любая формула эквивалента некоторой КНФ.
Алгоритм приведения формулы к днф.
1. Выражаем все
логические операции, участвующие в
построении формулы, через {
&},
используя вышеприведенные эквивалентности.
2. Используя законы
де Моргана, переносим все отрицания к
переменным и сокращаем двойные отрицания
по правилу:
.
3. Используя закон
дистрибутивности
,
преобразуем формулу так, чтобы все
конъюнкции выполнялись раньше дизъюнкций.
Пример 1-6.
Привести к ДНФ формулу
.
.
Приведение формул к КНФ производиться аналогично приведению её к ДНФ, только вместо п. 3. применяется пункт:
:3’.
Используя закон дистрибутивности:
преобразует формулу так, чтобы все
дизъюнкции выполнялись, раньше конъюнкции.
Пример 1-7.
Приведем к КНФ формулу
,
являющейся КНФ.