Глава 1. Функции алгебры логики

1.1. Основные определения

Рассмотрим множество векторов X={<>}, где,x {0, 1}, =, || = 2ⁿ. Произведем однозначное отображение множества X на множество Y={0, 1}, т.е. :X Y.

Определение 1. Функцией алгебры логики (ФАЛ или логической функцией) называется отображение вида :{0, 1}ⁿ {0, 1}.

Так как число различных наборов значений аргументов является конечным, то любая ФАЛ может быть полностью задана таблицей истинности. В левой части этой таблицы перепишем все наборы значений аргументов этой функции, а в правой части – значений функций на этих наборах.

Определение 2. Если две функции алгебры логики и принимают на все возможных наборах значений аргументов одинаковые значения, то функции иназываются равными.

Определение 3. Функция существенно зависит от аргумента, если имеет место соотношение:

Теорема 1. Число различных функции алгебры логики, зависящих от n аргумента, конечно и равно .

Геометрическое представление фал.

Е

Рис. 1-1.

сли наборам значений аргументов функции алгебры логики сопоставлять точкиn-мерного пространства, то множество 2ⁿ наборов определяет множество вершин n-мерного единичного куба. Произведем разбиение множества вершин куба на такие два непересекающихся подмножества Т₀ и Т₁, что вершинам, относящимся к подмножеству Т₀, соответствуют наборы значений аргументов, на которых данная функция принимает значение 0, а

в

36

ершинам, относящимся к подмножествуТ₁, соответствуют наборы значений аргументов, на которых данная функция принимает значение 1. Тогда, введя специальные обозначения для элементов Т₀ и Т₁, мы можем геометрически

5

1. ((c|)|(c ~))|((+)(–))=((c)(–))((|)|c)),

2. ((c)(c+))–((–)(~))=(()(c))(()(c)).

3. Воспользовавшись таблицами истинности, представьте логические выражения вашего варианта двух последних заданий в СПНФ. Затем произведите минимизацию методом карт Карно (результаты расчета проверьте с помощью таблиц истинности). Наконец, определите, к каким классам (P₀, P₁, S, M, L) относятся ваши логические выражения.

4. Докажите аналитическим путем справедливость трех предложенных выражений в каждом варианте.

1. (A – B) + (C – D) = A + C , если A B = CD;

A B(C)() = 1;

(a ~ b) – (a | b) = a b.

2. (A – B) + (B – C) + (B – A) + (C – B) = A +C;

((A )(C))((B)(B)) = 1;

a b = (a + b) ~ (b – a).

3. (A – B) + (B – C) + (C – A) = (B – A) + (C – B) + (A – C);

((A B) – C)(A(B – C)) ;

((a b)(ab)) + ((aa)(bb)) = a +b.

4. (A B) + (CD) = B + C,если A B = D, CD = A;

((B )(A))((C)(C)) = 0;

a c = (a(bc))(ab)c).

5. (A – (B – C)) – ((A – B) – C ) = A C;

(()(C))((B)(B)) = 1;

(())(a(bc)) = a.

6. (A BC)(A)(A) = A;

A B = A,если B = 1;

(a|(b|c)) + (b| (a| c)) + (c | (a | b)) =(a(bc))(b(ac))(c(ab)).

7. (A B) + (AC) + (BC) = (AB) + (AC) + (BC);

((A B) – C)((A – C)(B – A));

((a b)(a | b))((ab) | (a +b)) = 1.

8. ((A B)C)(()) =C;

(A – (B – C)) ((A – B)(BC));

a ((b – a) ~ b) = 0.

34

и т.д.

Используя таблицы, определяющие элементарные функции, можно задавать в виде таблицы любую функцию алгебры логики, являющуюся суперпозицией этих функций.

Таблица 1.

Аргументы	Значения аргументов				Обозначение ФАЛ	Название ФАЛ
	0	0	1	1
	0	1	0	1
№ ФАЛ
	0	0	0	0	Const 0	Константа 0
	0	0	0	1	&,	Конъюнкция (логическое умножение)
	0	0	1	0		Запрет по, разность
	0	0	1	1		Переменная (повтор)
	0	1	0	0		Запрет по , разность
	0	1	0	1		Переменная (повтор)
	0	1	1	0	,	Сложение по модулю 2, кольцевая сумма (разделительное “или”)
	0	1	1	1		Дизъюнкция (логическое сложение)
	1	0	0	0	,	Стрелка Пирса (), операция Вебба (), антидизъюнкция
	1	0	0	1	~,	Эквивалентность (логическая равнозначность)
	1	0	1	0		Отрицание
	1	0	1	1	, ()	Импликация в (логическое следование)
	1	1	0	0		Отрицание
	1	1	0	1	, ()	Импликация в, (логическое следование)
	1	1	1	0	/, |	Штрих (операция) Шеффера (антиконъюкция)
	1	1	1	1	Const 1	Константа 1

7