Раздел II. Элементы математической логики.

Логика – наука о формах мышления.

Математическая логика – есть наука о формах математического мышления, т.е. по предмету – логика, по методам – математика.

В математической логике то или иное рассуждение переводят на язык формул и правильность или ложность рассуждения устанавливают путем исчисления этих формул.

Философ – человек, умеющий вести спор.

Математическая логика используется при программировании, при конструировании вычислительных машин, в решении прикладных вопросов.

Часть 1. Исчисление высказываний.

§1 Высказывания.

Df1. Высказывание – это повествовательное выражение, относительно которого можно сказать истинно оно или ложно.

Df2. Высказывательная форма

Р(х₁,…, x_n) – это предложение, которое обращается в конкретное высказывание при подстановке вместо (х₁,…, x_n) конкретных значений

(х₁,…, x_n) – высказывательные переменные

Пример:

Р(х)”х делится на 2”,

Различают высказывания простые и сложные

Сложные высказывания образуются из простых или так называемых атомарных с помощью следующих союзов.

Логические союзы:

1. не ()

2. и (&)

3. или ()

4. если…, то…()

5. …тогда и только тогда, когда…()

Df3. Отрицание – есть сложное высказывание, образованное из исходного с помощью частицы «не».

Пример:

1) Р(х)«в аудитории №5 была собачка»

2) Р(х)«в аудитории №5 не было собачки» - сложное высказывание относительно 1

Высказывания обозначаются A, B, C, D…, иногда разрешается p, q, z…

Р	Q	P	P&Q	PQ	P→Q	PQ
И Л И Л	И И Л Л	Л И Л И	И Л Л Л	И И И Л	И И Л И	И Л Л И

Р(х){И, Л}

Таблица истинности

Df4. Конъюнкцией (логическое произведение) двух высказываний P и Q называют третье сложное высказывание (P&Q), образованное из простых высказываний P и Q с помощью союза «и», принимающее значение истинно при одновременной истинности составляющих высказываний, значение ложно – при всех остальных.

Df5. Дизъюнкцией (логическое сложение) двух высказываний P и Q называют третье сложное высказывание (PQ), которое принимает истинное значение при истинности одного из исходных высказываний P или Q и ложное значение при одновременной ложности исходных высказываний.

Df6. Импликацией (логическое следование) двух высказываний P и Q называется третье высказывание (P→Q, PQ, PQ), которое принимает ложное значение при истинности значения Р и ложности Q, при всех остальных ситуациях принимает истинное значение.

Df7. Эквиваленция (логическая равнозначность) двух высказываний P и Q, обозначается (P~Q, PQ), которое принимает истинное значение при совпадающих значениях исходных высказываний и ложное значение при различных значениях P и Q.

Примеры сложных высказываний:

1) Сегодня на лекции присутствуют все студенты (Р)

2) Сегодня не все студенты присутствуют на лекции ()

3) На лекции студенты слушают (P) и конспектируют (Q)

Структура высказывания: P&Q.

4) На лекции студенты слушают (P)или разговаривают (Q)

Структура высказывания: PQ.

5) Если студенты посещают занятия (P), то они успешно смогут сдать экзамены (Q)

Структура высказывания: P→Q.

6) Студенты смогут успешно сдать экзамены (P) тогда и только тогда, когда они выполняют весь учебный план (Q)

Структура высказывания: P~Q.

Переход от посылки к заключению P→Q называется выводом. Если посылка была истинной, а заключение – ложным, то вывод был ложным.

Из ложности посылки можно получить ложный и истинный результат.

С помощью логических союзов образуются сложные высказывания путем выполнения каких-то операций, их принято называть логическими ()

- алгебра логики, где P – множество логических переменных, принимающих значения либо И либо Л. Q – множество логических операций. где

кроме того применяются скобки: (, ), [, ].