§ 9 Отображение.

Возьмем два множества А, В

Рассмотрим как могут соотносится эти два множества

Df1. Отображением множества А во множество В называется такое соответствие двух множеств А и В, при котором каждому элементу множества А сопоставляется точно один элемент множества В.

f: АВ – отображение А в В.

Г_В(А) – отображение А в В: y = f(x), где хАyВ.

В такой записи х называется прообразом, у – образом.

f: А = В

Виды отображений:

1. Сюръекция (отображение на) отображение А на В.

Df2. Если каждому элементу из множества В сопоставляется хотя бы один элемент из множества А, то такое отображение f: АВ называется сюръекцией (или отображением множества А на множество В)

2. Инъекция («впрыскивание»).

Df3. Если каждому элементу из множества В сопоставляется не более одного элемента из множества А, то такое отображение f: АВ называется инъекцией.

3. Биекция.

Df4. Если каждому элементу из множества В сопоставляется точно один элемент из множества А, то такое отображение f: АВ называется биекцией.

Биекция есть очевидно одновременно отображение сюръективное и инъективное. Биекция используется для определения мощности в силу установления одно-однозначного отображения двух множеств. Если множества А и В имеют одинаковое число элементов, то между ними устанавливается биективное отображение. Такие множества называются равночисленными. Если А и В – бесконечные множества и между ними устанавливается биективное отображение, то такие множества называются равномощными.

A = N = {1, 2, 3…}

B = N_чет = {2, 4, 6…}

f: n2n, где nA, 2nB => биекция – мощности равны (парадокс).

Парадоксы, когда часть множества равна целому, могут встречаться только если множества бесконечные.

Df5. Если множества А и В связаны инъективным (биективным) отображением, то они называются эквивалентными (А~В).

Свойства эквивалентности множеств (А~В):

1) рефлексивность: А~А,

2) симметричность: А~В В~А,

3) транзитивность: А~В, В~С → А~С.

Для того, чтобы определить счетно ли множество необходимо установить, что оно биективно или эквивалентно множеству N.

Свойства отображений:

Если f: x→y, то говорят, что f ^-1: х←у – это отображение называется обратным, при

э

f

A x y B

f ^-1

том два множества (А, В)связаны средством включения:

1),

2) ,

3) .

§10 График.

Df1. Графиком у при отображении f: А→В называется множество Г_f, состоящее из упорядоченных пар (кортежей) <х, у>, где .

Г{<x, y>| y = f(x), }

В

y_n y = f(x)

. пр₂ Г_f

.

y₁ пр₁ Г_f

.

А

х₁ ………….х_n A

А – 0.0.Г (область определения)

В – 0.3.Г (область значения)

Виды графиков:

1) функциональный,

2) инъективный.

Df2. Функциональным графиком называется график, не содержащий пар с одинаковыми первыми и различными вторыми компонентами.

Df3. Инъективным графиком называется график, не содержащий пар с различными первыми и одинаковыми вторыми компонентами.

Операции над графиками:

В силу того, что график есть множество, то над ним имеют место все теоретико-множественные операции:

Так как график – это упорядоченное множество, то над ним выполняются дополнительные операции:

1) инверсия графика

у{<x, y>| y = f(x), }

у ^-1{<y, х>| х = f ^-1(у), }

2) композиция двух графиков (), где А и В – графики, называется такой третий график С, который определяется следующим образом

= С