§6 Разбиение.

Р

Возьмем универсальное множество U и выделим некоторое подмножество :

А = {хU | P(х)},

= {хU | (х)}

азбиение – есть операция над множествами.

А U

По одному свойству универсальное множество делится (разбивается) на два подмножества А и , обладающие такими свойствами:

1) А=, 2) А= U

Возьмем два свойства: Р(х), Q(х). Тогда универсум U разбивается на 4 подмножества:

I, II, III, IV.

А В

I III II

IV U

А = {хU | P(х)} - I

В = {хU | Q(х)} - II

АВ = {хU | P(х) и Q(х)} - III

U\(АВ) = {хU | (х) и(х)} -IV

1)

2)

Если P₁, P₂,…, P_n свойства, то по этим n свойствам разбиваем множество U на 2ⁿ частей.

1. ,;i, j

2. .

Операции над множествами, удовлетворяющими свойствам 1 и 2, называются разбиением множеств. Части множеств K_i называются классами.

§7 Кортеж (вектор).

Кортежи принято обозначать …

Если раньше мы считали, что {a, b} = {b, a}, то в кортеже такие перестановки не возможны.

=<a, b> - кортеж.

=<a₁, a₂,…, a_n>, где a₁…a_n – компоненты (элементы) кортежа.

= < > – пустой кортеж.

=<a> – кортеж из одной компоненты.

=<a, b> – кортеж из 2-х компонент.

={{a}, {a, b}} – эта запись означает, что кортеж состоит из двух элементов, в расположении двух элементов первым стоит а.

=<a₁, а₂,…,а_n> – кортеж из n компанент.

Если указана природа элементов кортежа и строится кортеж=<a₁, а₂,…,а_n>, то говорят, что имеем кортеж над множеством М.

Свойства кортежей:

1) <a, b> <b, а>;

2) два кортежа иравны между собой тогда и только тогда, когда равны их компоненты, стоящие на одинаковых местах и количество компонент совпадает:

3) Проектирование кортежей

Операция разложения вектора по осям называется

проектированием кортежа (а₁ и а₂ – проекции)

(n=m)

a₃

а₁

α

а₂

пр₁ = а₁

пр₂ = а₂

пр₃ = а₃

а_i = пр_i = <a₁,…,a_i,…a_n>

пр_{i1, i2…ik} = <a₁, a₂,…a_i1, a_i2,…a_ik,…a_n> = <a_i1, a_i2,…a_ik>

Проекция кортежа на несколько осей есть кортеж. Если говорят, что элементы кортежа берутся из конкретного множества М, то можно говорить о проекции кортежанад множеством М.

Свойства кортежей:

1. рефлексивность: =.

2. симметричность: если кортеж равен кортежу, то очевидно, что=.

3. транзитивность.

Если кортеж равен кортежу, а он в свою очередь равен кортежу, то кортежравен кортежу: [=;=] =>=.

§8 Декартово (прямое) произведение.

Df1. Декартовым произведением двух множеств А и В называется множество , содержащее упорядоченные пары (кортежи), первые компоненты которых принадлежат множеству А, а вторые компоненты – множеству В.

= {<a, b>| aA, bB}

Если = n , то = nm

= m

–очевидно

Df2. Декартовым произведением А₁, … А_n, называется выражение

= {<>| a₁A₁, a₂A₂,… a_nA_n}

Свойства декартового произведения:

1. В отличие от рассмотренных ранее произведений в декартовом произведении не выполняется свойство коммутативности

Пример:

А = {1, 2, 3} B = {4, 5}

= {<1, 4>,<1, 5>,<2, 4 >,<2, 5>,<3, 4>,<3, 5>}

= {<4, 1>,<4, 2>,<4, 3 >,<5, 1>,<5, 2>,<5, 3}

2.

3. Если рассматривать n множеств, причем , то можно говорить оn-ой степени. Это значит, что берется декартово произведение n одинаковых множеств: = Аⁿ