§3 Отношения между множествами.

Между множествами различают два отношения:

1) Включение (строгое и не строгое).

2) Равенство.

Df1. Множество В включается во множество А, если каждый элемент из множества В входит во множество А:

- квантор общности (все, каждый) по переменной х.

- квантор общности (все, каждый) по переменной х.

Df2. Два множества А и В равны (А = В) тогда и только тогда, когда множество А включено во множество В и одновременно множество В включено во множество А.

1.

2. и

- знак нестрогого включения

- знак строгого включения

Множество В включено во множество А и не допускает равенства множестви

§4 Основные свойства теоретико-множественных операций.

Df1. В каждом конкретном случае указывается универсальное множество.

Например, N = U – множество всех натуральных чисел.

Введенные теоретико-множественные операции можно рассматривать всегда только из универсального множества или из булеана P(U), т.е A, B, C…P(U).

1) Коммутативность (перестановка):

а) , в)

б) , г)

2) Ассоциативность (объединение):

а) , в)

б) , г)

3) Дистрибутивность (распределение):

а)

б)

4)

5) Законы де Моргана

а) , б)

6) а), г)

б) , д)

в) , е)

§5 Доказательство тождеств в алгебре множеств.

= {M; }, где М,алгебра множеств.(а готическое рукописное).

объекты операции

В алгебре множеств рассматриваются основные тождества и свойства этих тождеств. Рассматриваются уравнения двух типов

1) U(A, B, C…) = B(A, B, C…) множества заданы подмножествами А, В, С…

2) U(А, В, С…) = 0

Докажем эти тождества. Существует 3 метода доказательства тождеств:

1. геометрический,

2. аналитический (с использованием понятия эвристики),

3. аналитический (с использованием основных свойств теоретико-множественных операций).

Рассмотрим геометрический метод доказательства для первого тождества на примере:

U(A, B, C…) = B(A, B, C…)

Картинки аудентичны (доподлинно одинаковы по построению)

Преимущество геометрического метода: наглядность.

Недостаток: при большом количестве множеств, участвующих в построении (более 5), теряется наглядность данного метода.

Аналитический метод исправляет недостаток геометрического метода, но сам он не наглядный.

U(A, B, C…) = B(A, B, C…)

=

D F

1) (А = В) = АВ и В

2) (АВ) = (х) [хАхВ] условия равенства двух множеств

3) (ВА) = (х) [хВхА]

(D = F) = DF и F

(DF) = (х) [хDхF]

xD = xA(BC) =

D

по свойству теоретико-множественных операций переходим к более простому виду записи:

= xA и x A(BC) = xA и [xВ или xС] =

Сейчас мы должны перейти к методам эвристики. Эвристический путь сокращает перебор решений. При эвристическом пути рассуждать необходимо после рассмотрения левой части доказываемого множества (рассмотрение до уровня разложения на элементы отношения принадлежности и простейшие логические союзы (и, или)) перейти к рассмотрению таким же образом правой части.

= (xA и xВ) или (xA и xС).

= [x(AВ)] или [x(AС)] = x[(AВ) (AС)]

F

Взяв х – произвольный элемент во множестве D, мы обнаружили его во множестве F.

Аналогичным образом докажем: (х) [хFхD] = FD и получим конечный результат: (D = F) = DF и F.

(А\В) (АВ)U

А В

Рассмотрим 3-й метод для второго вида тождеств:

(A,B,C,…)=0;

А\[(АВ)(А\В)] =

По свойству дистрибутивности исходное тождество можно переписать следующим образом:

А\{[А(А\В)][В(А\В)]} = А\{А(АВ)} = А\А =

А АВ

Этот метод наиболее продуктивен, но требует знания основных свойств теоретико-множественных операций и умении пользоваться диаграммами Эйлера-Венна.