§3 Связность в графах.

S=(…, E₀ , E₁ , … E_n-1 , …) цепочка промежуточных ребер, связывающих вершины Е₀=(х₀,х₁), Е₁(х₁,х₂), E₂=(х₂,х₃)… Если теперь взять последовательность ребер, то получим:

S={…(x₀,x₁), (x₁,x₂) … (x_n-2, x_n-1), (x_n-1, x_n), …}

Полученное множество маршрутом на графе от х₁ до х_n

S – множество, перечисленное множество вершин от х₀ до х_n, где х₀ – начальное вершина, х_n – конечная вершина все остальные промежуточные.

Если x_n = x₀, то маршрут называется циклическим. Если все ребра маршрута различны, то маршрут называют цепью. Если в цепи промежуточная вершина не повторяется, то цепь называется простой. В зависимости от множества S говорят о маршруте конечном или бесконечном.

Всего множества маршрут между двумя вершинами существуют минимальный маршрут удовлетворяющей аксиомам метрики.

d(x_i, x_j) - расстояние

1. d(x_i, x_j)=0

2. d(x_i, x_j)= d(x_j, x_i) – рефл., симметр.

3. d(x_i, x_j) + d(x_j, x_n) ≥ d(x_i, x_k)

2-е вершины находящиеся в графе называются связными, если существуют маршрут S между 2-мя вершинами.

S={(х₀, х₁), (х₁, х₂), …, (х_n-1, x_n)}

Граф называется связным, если между двумя любыми вершинами графа можно указать маршрут связи.

Т.к. установили адекватность между бинарным отношения и графами, то можно сказать, что отношение связности на графах является адекватным отношением эквивалентным в бинарных отношениях, т.е. по отношению связности графа можно разделить на пересечение подграфа. Внутри подграфов будет связь между вершинами. Между подграфами связь отсутствует.

Т.к. графу свойственны явления непрерывности => ему должны быть свойственны новые операции.

С помощью отношения (~) мы можем разбить граф на связные и не связные подграфы.

§4 Эйлеровы графы.

Мы говорим, что граф есть множество вершин, соедененных различными ребрами.

Граф является плоским, если любые пересечения ребер есть вершина, в противном случае, граф называется пространственный или объемный

Нас будет интересовать задача о нахождении наикратчайшего пути между вершинами графа. Путь между двумя вершинами проходит по ребрам.

Длиной маршрута называют количество ребер, участвующих в пути.

Длина маршрута х₂х₁х₄х₃х₂х₄ равен 5

Здесь встречаются циклы, например х₂х₃х₄х₂, в результате маршрут зацикливается, поэтому необходимо:

При задании маршрута желательно выделить циклы.

Можно ли пройти весь город пройдя по всем мостам лишь один раз. В вершине А сходится нечетное число ребер и заметили во всех вершинах это число четное.

Получили граф локальная степень вершин которого, не четная.Эйлер решил эту задачу отрицанием.

Обобщением этой задачи послужила следующая постановка: можно ли указать такой граф обходя ребра которого точно 1 раз мы получим полный цикл на данном графе. В связи с постановкой задачи цикл называется Эйлеровым, т.е. маршрут проходят точно один раз по всем ребрам (повторение вершин допускается).

Если имеется не цикл, а цепь разорваный цикл, то соответсвующая цепь называется Эйлеровой, т.е. цепь маршрута, проходит по каждому ребру точно один раз. Ответом на эту задачу служит следующее утверждение: для того чтобы граф содержал Эйлерову цепь от вершины А к вершине В необходимо и достаточно, чтобы вершина А и В были единственными нечетными вершинами графа, при этом Элеровый граф, граф содержащий Эйлеровы цепи является связным.

На каком-то графе в общем случае неориентированном мы желаем выделить такое количество путей (цепей), чтобы с одной стороны стороны они были Эйлеровыми, а с другой стороны их количество было минимальным.

Имеет место следующие утверждение: На графе с (2R) вершинами можно выделить k Эйлеровых цепей.

Допустим, необходимо посетить выставку, обойдя все залы,и посещать всего 1 раз каждый из них

Задача о лабиринтах:

придя из точки А в точку A₁ мы помечаем поля направления, из точки А, выходят несколько ребер, необходимо пометить маршрут. Допустим отметили маршрут по часовой стрелке. Сюда относятся задачи о лабиринтах, выстовачных залах. Примерами являются задачи типа о волке, козе и капусте.

Задача о прохождении через ребра пройдя через каждую вершину только один раз. Эту задачу поставил Гамильтон в виде шутки: построить додекаэдр.

должно получиться 12 граней.

Это задача – шутка рассмотрим следующим образом указать маршрут движения по ребрам додекаэдра единственный раз проходя через вершины.

Простейший пример: гамельтонова маршрута обход кубика, при этом мы обхватываем все вершины, но не все ребра.

Для того, чтобы получить гамильтонов цикл, нужно лишь замкнуть ребром 1-8

Путь (1524361) мы единственным образом попадаем во все вершины. Эти задачи Гамильтон назвал задачами о комивояжоре (торговце): он обходит n городов его задача обойти все города, входя в них хотя бы по одному разу и пройти по кратчайшему пути.

Сюда относится задачи о линиях электропередач.

В1971 годы была решена транспортная задача для города Ижевска. В городе имеется специальный автопарк, который обслуживает все торговые точки города. Необходимо было построить топографическую карту (схему улиц города).

Список литературы по разделу I

Элементы теории множеств.