§14 Равносильные формулы в исчислении предикатов.

Исчисление предикатов это расширение исчисления высказываний. Все идет по аналогии.

В исчислении предикатов мы говорили, что формулы φ₁ и φ₂ являются равносильными, если они принимают одинаковые значения при одинаковых значениях переменных.

2 формулы Ф₁ и Ф₂ в исчислении предикатов являются равносильными, если они принимают одинаковые значения при одних и тех же значениях логических переменных (типа ), связанных (типаи), свободных переменных и при одних и тех же значениях кванторов, т.е. при (равносильных кванторах) одноименных кванторах.

P(x,y)↔[x>y]

–здесь x – связанная, а y – свободная переменные.

.

Поскольку в определении равносильности функции в ИП вложено понятие равносильности функции в ИВ, то равносильные формулы, рассмотренные в ИВ, автоматически входят в равносильные формулы в ИП.

(ИВ), т.е. φ₁↔φ₂.

(ИП).

Все остальные формулы переносятся аналогично. За счет кванторов мы расширяем тот список в ИП.

1)

2)

рассмотрим формулы Де Моргана в исчислении предикатов.

Запишем полученные формулы.

3)

4) – это аналоги функций Де Моргана в алгебре исчисления предикатов.

Для того, чтобы получить отрицание выражения начинающегося с квантора общности или существования необходимо сделать следующее:

1. над всеми связанными переменными необходимо поменять кванторы (и наоборот).

2. знак отрицания вынести перед предикатом.

Пример:

Пример:

{a₁,a₂,...a_n,...}

1. Но часто последовательность не имеет предела |=> наше условие не выполняется, отрицается.

2.

{по свойству , то} тогда получим выражение:

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14) , У – удаление квантора обязность.

15)

16)

В предыдущих 13 формулах знак (↔) можно заменить на знак (~), получим отдельную формулу, которая является тождественно-истинной.

1. любое целое число есть рациональное

2. 1 – целое число.

=> 1 – рациональное число.

1-ое выражение перепишется

1.

C–целые, R–рациональные.

2. С(1)

R(1)=?

Заключение в том, что имеющееся свойство P(x) конкретизуется для определенного значения y.

1.

2. C(1)

3. C(1)→R(1)

4. R(1) {ПО: 2,3}

§15 Подходы к построению выводов.

1 подход – интуитивный (интуиция – большой опыт в решении данных задач, но другие говорят, что это есть озарение, т.е. умение увидеть решение без промежуточных результатов).

например: точка – след карандаша, линия – след карандаша.

2 подход – содержательно (математический) – изучая объекты пытаемся доказать свойства.

например: точка – не имеет размеров, линия не имеет размеров (толщины и длины).

Через 2 точки можно провести прямую. Сами того не замечая мы приводим их к математическим выкладкам.

3 формализованный подход.

Применение разработанных методов из определенной области математики.

После формулировки задачи, не указав ограничение (2 подход) и не пройдя интуитивный подход, нельзя приступить к 3 подходу.

Пример:

φ₁ 1. если a = b, то α = β

φ₂ 2. если α = β, то a = b

=> ABC – равнобедренный.

На 1 уровне мы запасаемся знаниями, аксиомами. A={∆,∟,линия}

Т(А)

Т(А), φ₁, φ₂, |– “∆ - равнобедренный”.

φ₀