§12 Кванторы.

Рассмотрим пример:

1) , если все элементы из множества А входят во множество В. Элементx будучи заданным во множестве А появляется в множестве В.

Формальная запись выражения 1.

2)

–квантор общности (для всех, или для каждого) x, стоящего под знаком квантора называется связной переменной.

Область действия квантора – это все то выражение, которое идет за квантором.

Разрешим следующую запись:

–квантор x ограничен каким-то свойством общности x, называется ограниченным квантором общности.

!!квантор всегда заключен в скобки!!

Когда нам необходимо выделить значение переменной, соответствующий определенному свойству, используем квантор существования.

Пример:

P(x)↔”x+2=7”

Тот факт, что существует такое x, что x+2=7, можно записать следующим образом в логической форме.

, т.е. [x+2=7] – область действия квантора.

–квантор существует.

x – связная переменная.

Разрешим следующую запись:

–ограниченный квантор существует.

!!квантор всегда заключен в скобки!!

Пример:

рассмотрим случай, когда используется оба квантора lim_n→∞a_n=b.

Для любого положительного ε, существует такое число n_ε, связанное с ε, что для любого числа , как толькоn > n_ε, то |a_n – b| ≤ ε.

С помощью кванторов и предикатов мы можем сами анализировать выражение.

§13 Формулы исчесления предикатов.

Поскольку исчесление предикатов возникли на базе исчисления высказываний, то и определение формулы исчисления предикатов может быть сделано по аналогии с определением формул исчисления высказываний.

1. отдельная формула Р уже есть формула исчисления предикатов. Р – формула исчесления предикатов .

2. Р(x₁,x₂,...,x_n) – формула исчесления предикатов (ИП).

3. предикатные выражения с навешенным квантором общности или существования.

есть также формулы ИП.

4. если Q(x) и P(x) – формулы ИП, то ¬Q(x), ¬P(x)

Q(x), & P(x)

Q(x), v P(x) явл-ся также

Q(x), → P(x) формулами ИП

Q(x), ~ P(x)

Df1. Две формулы исчислении предикатов Q(x₁,x₂,...x_n) и P(x₁,x₂,...x_n) являются равносильными, если они принимают одинаковые значения Q, при.

рассмотрим формулы Де Моргана

Операция подстановки.

N – местный предикат при подстановке конкретного значения обращается в конкретное высказывание.

Если же подставить k переменных, где n>k, то n местный предикат переходит в (n-k) – местный предикат, где n–k<n, т.е. происходит понижение предиката.

§13.1 Операции логики высказываний над предикатами.

Если k=n, то мы получили нульместный предикат, т.е. подставляя все n переменных, получили высказывание.

S(x,y,z)↔x+y=z

3-местный предикат

, если x=2, то получаем S(x,y,z)↔2+y=z – 2-х местный предикат.

Если подставить все 3 переменные, то получим S(x,y,z)↔2+3=5 – получили высказывание, нульместный предикат или вырожденный предикат.

Все операции, которые мы можем выполнить над высказыванием, => переместим в исчисление предикатов.

1. Отрицание.

Свойством P(x), мы разбиваем множество на 2 подмножества: удовлетворяющему свойствуP(x) и не удовлетворяющему свойству множествоx отвечает этому свойству,

–множество x, не обладающие этим свойством.

область 1

область 2

Если , т.е. рассмотрим универсальное множество.

дополнение – теоретико-множественный знак.

–отрицание свойства – это логический знак отрицания.

Позволяет перейти от основного множества к дополнению.

2. Конъюнкция.

P(x)&Q(x) – это свойства

Переменная x должна отвечать 2 свойствам P и Q.

.

- область 1

- область 2

3. Дизъюнкция.

P(x)VQ(x)

Для переменной x заданы 2 свойства, x должен обладать хотя бы одним из этих свойств.

4. Импликация (→).

Наличие свойства P для переменных x влечет за собой свойство Q.

(по свойству).

5. Эквивалентность (~).

(по свойству ). операция – упорная (¬), а &, V, →, ~ -

это бинарные операции.

С помощью предикатов мы рассмотрели как свойства объектов, так и отношение между ними.