§9 Анализ простейших рассуждений.

1.Если многоугольник правильный(φ), то вокруг него можно описать окружность(ψ).

2.Данный многоугольник правильный(φ). {1 и 2 это посылки}

3.Вокруг данного многоугольника можно описать окружность.

правила отделения или правило заключения ПО

1. φ→ψ Посылки

2. φ – И Вывод

3. ψ – φ Заключение

Рассмотрим 2 предложение (1) φ→ψ, далее утверждена посылка φ и получаем заключение ψ.

Переход от исходных данных к заключению называется выводом.

1) Правило отделения: (ПО)

Р1→Р2 <=> ¬Р2→¬Р1 1 2

φ, φ→ψ (ПО)

ψ

2) Правило расширенной контрапозиции: (ПРК)

φ→ψ

¬ψ – Л

¬φ – Л

Пример:

еслиa = b, то ∟α = ∟β, т.е. p→q

p q

если ∟α ≠ ∟β, то a ≠ b, т.е. ¬q ≠ ¬p

эти посылки, утверждения равносильны.

3) Правило силлогизма: (ПС)

p→q φ₁

q→r φ₂

p→r φ

учитывая отношение равносильности (p→q) & (q→r) <=> p→r

φ₁ φ₂ φ

φ – сложное заключение.

& Пусть 1 φ₁ – И

2 φ₂ – И Посылки

φ₁&φ₂

φ₁

φ₂ (ВК)

φ₁&φ₂

Пример:

пусть φ₁ ↔ (a<x), φ₂ ↔ (x<b),

|=>φ₁& φ₂ = (a<x)&(x<b) = a<x<b,

4) УК (удаление конъюнкции) (УК)

φ₁&φ₂

φ₁φ₂

Правило УК позволяет от конъюнкции перейти к отдельным утверждениям. Если имеется n посылок, то можно пойти &(i=1,n)φ_i и по правилу УК из &(i=1,n)φ_i можно получить отдельные значения φ_i.

v Пусть нам задана функция знаем, что она истина, и знаем, что от дизъюнкции φ₁ с И или Л от этого смысл исходного утверждения не изменится.

φ₁

φ₁Vφ₂ – введение дизъюнкции (ВД)

Пример:

φ₁(a>0)

(a>0)V(a=0), т.е. φ₁ V φ₂

a≥0.

φ₁

φ₁Vφ₂Vφ₃V… Vφ_n (ВД)

добавить

φ₁Vφ₂

¬φ₂ удаление дизъюнкции (УД)

φ₁

Для удаления дизъюнкции, хотя бы одна посылка должна быть ложной.

Пример:

a≥0 φ₁Vφ₂

a≠0 – отрицательное φ₂

a>0 φ₁

~ p~q <=> (p→q) & (p←q), т.е. φ₁&φ₂

φ₁ φ₂

(φ←ψ)

(φ~ψ) – введение эквиваленции (ВЭ)

Пример:

рассмотрим ∆ из ПВК

1. еслиa = b, то α = β

φ ψ

2. если α = β, то a = b

∆ равнобедренный φ~ψ

φ~ψ

φ→ψ

ψ→φ – удаление эквивалентности (УЭ)

в доказательствах часто применяются методы индукции, дедукции.

Дедукция – этот метод позволяет осуществить переход от общего к частному, индукция – наоборот.

В дедукции рассуждение имеет место теорема дедукции.

Пусть имеется n посылок φ₁, φ₂, φ₃, … φ_n из них выводится некоторое утверждение φ. Тот факт, что φ₁, φ₂ … φ_n истина, то φ – истина.

Теорема дедукции.

φ₁, φ₂, … φ_n |– φ

Если утверждение φ можно получить из n посылок, то

φ₁, φ₂, … φ_n–1 |– (φ_n→φ)

Доказательство по методу от противного.

Предположим, что после союза то утверждение |– (φ_n→φ) – ложное, т.е.

φ₁, φ₂, … φ_n–1 |– (φ_nφ) => φ_n→φ <=> Л, но это возможно значет это не удовлетворяет условию φ₁, φ₂, … φ_n |– φ

При применении теоремы дедукции разрешается проверить посылку.

После 1 применения теоремы дедукции условие будет выглядеть следующим образом:

φ₁, φ₂, … φ_n–2 |– [φ_n-1→(φ_n→φ)]

После n применения теоремы дедукции условие будет иметь следующий вид:

φ₁ |– {φ₂→[φ₃→…→(φ_n→φ))))))...]

Пример:

1. если 2 плоскости параллельны, то они не имеют общей точки.

p r

2. если 2 плоскости пересекаются, то они имеют общую прямую.

q s

3. но 2 плоскости параллельны или пересекаются.

p q

Вывод: две плоскости не имеют общей точки или имеют общую прямую.

r s

1.p→r φ₁

2.q→s φ₂

3. pVq φ₃

r V s φ

Если мы на основании посылок докажем их истинность, то докажем их.

p→r q→s pVq r V s (1)

φ₁ φ₂ φ₃ φ₄

с использованием вспомогательной формулы равносильности rvs <=> ¬r→s мы можем подставить в (1) получим.

p→r q→s pVq |– (¬r→s) (2)

φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ φ`

по теореме дедукции

p→r q→s pVq ¬r |– s

φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ φ`

доказательство:

1p→r φ₁

2 q→s φ₂

3 pVq φ₃ ←посылки

4 ¬r φ₄

5 ¬p {ПРК:1,4}

6 q {УД:3,5}

7 s {ПО:2,6}