§3. Комбинаторика.
Введение
еще два термина. 1) Кортеж
называется размещением, если все его
компоненты различны.
Например:
=<a,b,c,d>
a
b
c
d.(попарно
различны).
В
частности любой пустой кортеж (
)и
любой кортеж длины 1<a>являются
размещениями.
Из предыдущих определений вытекает смысл словосочетания «размещение над длинным множеством».
2) Размещение над данными множеством- это такой кортеж, который;
Во-первых, является размещением.
Во-вторых, является кортежи над данными множествами.
Пусть М- конечное множество.
3)
Кортеж
называется перестановкой над множеством
М, если он:
-является размещением
-и его длина равна числу элементов множества М.
Т.о., перестановка над n-элементным множеством М-это кортеж длины n над множеством М, все компоненты которого различны.
Пример. М={a,b,c}.
Размещение:
=<a,b>,a
b.Размещение над множествами М:
=<a,b>.
a
b.
=<a,c>.
a
c.
т.к.
a,b,c
M.
но
=<a,d>-не
есть размещение над М, т.к. d
М.
Перестановка на множеством М:
=<a,b,c>
но
=<a,c>-не
есть перспектива, т.к. число его элементов
(2)<числа элементов множества М.
Полезно отметить, что у нас есть термины «кортеж» и «кортеж над данным множеством», «размещение» и «размещение над данным множеством», но у нас нет термина «перестановка», а есть термины «перестановка над данными множествами», причем этот последний термин имеет у нас смысл только в том случае, когда «данное множество».
Определим количественные характеристики, связанные с понятием кортежа.
I.
A
-число
размещений длины k
над произвольным n-элементным
множеством М.
1
k=0.
I
A
=
.
(0)
0 k>.
где
R,n
{0,1,2,3,…}.
Доказательство. Очевидно (из определения размещения над множеством М), что при любом n
(это
есть
)
(1)
если
k>n
(2)
Непосредственно
из смысла выражения
вытекает, что
(базис
индукции)
(3)
Докажем индукцию по k, что при фиксированном n:
(
)[
],индукционный
шаг
(4)
где
Например:
Пусть
M={
}
1.
k=0. 
.(
)
2.
k=1. 
n
3.
. k=2.
n
