Глава III. Кортеж.

§1. Кортеж (упорядоченные системы элементов).

Введём понятие «кортеж». Как и понятие множества, понятие кортежа будет у нас исходным, неопределяемым понятием.

Например, можно говорить о кортеже машин (на параде), о кортеже людей стоящих в очереди (в столовой).

Вместо термина «кортеж» употребляют также, в качестве синонимов, термины «вектор», «набор».

Вместе с термином «кортеж» вводится (также неопределяемый) термин «компонента» (синоним: «координата»), точнее-первая, вторая и вообще i-я компонента.

Число компонент кортежа называется его длинной. Кортеж длины S, первая компонента которого есть а, вторая а, …,s-я, последняя компонента-a, будем обозначать < а, а,…,a>.

Компонентами кортежей могут быть любые «понятные» объекты, в том числе – множества и кортежи. В отличие от элементов множеств, компоненты кортежа могут полностью или частично- совпадать.

Параметры кортежей: 1) <>

2. <>

Кортежи длины 2 (1=2) будем называть парами (иногда говорят- упорядоченными парами), кортежи длины 3-тойками, длины 4-четвёрками,…, длины n-«n-ками».

Наряду с кортежами длина 2,3,4,…, мы будем говорить о кортеже длины 1. <a>. И о пустом кортеже, кортеже длины 0. Пустой кортеж будем обозначать буквой или прото < >.

Т.о., длиной кортежа будет являться любое целое неотрицательное число (в том числе и 0). Никаких «кортежей бесконечной длины» у нас не будет.

Кортежи чаще всего будем обозначать строчными греческими буквами (), а компоненты кортежей- строчными латинскими буквами (a,b,c,d,..)/

Пример: =<a,b> =<>

=<c,d> =<>

>,i{1,2,…,S}.

Условимся говорить, что картежи иравны (=), еслииимеют одинаковую длину и каждая компонента кортежасовпадает (равна) с компонентой кортежас тем же…., в противном случае .

Т.о. .

О равных кортежах =будем говорить, чтои-один и тот же кортеж.

Из определения кортежа следует, что <3,5><5,3>; в отличие от множеств, порядок компонент в кортеже очень существенен.

Очевидно: 1) <3,,2x-5,{2,1},<3,6>>=<3, ,2x-5,{1,2},<3,6>>.

2. <3, ,2x-5,{2,1},<3,6>><3,,2x-5,{2,1},<6,3>>.

Заметим, что следует различать:

<a,b>-кортеж.

{a,b}-множество.

[a,b]-замкнутый интервал (из теории чисел), наименьшее общее

(a,b)-открытый интервал, наибольший общий делитель чисел a и b.

[a,b)- полуоткрытый интервал (ax<b)

(a,b]- f (a<xb)

<a,b,c><a,<b,c>>

§2. Декартово (прямое) произведение множеств.

Определение1. Декартовым (прямым) произведение множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех пар, первая компонента которых принадлежит А, а вторая принадлежит В.

Декартово произведение есть операция над множествами. Она используется понятие кортежа.

Прямое произведение обозначается через АВ (но не А*В или АВ).

Иногда прямое произведение называется внешним и обозначают [A,B].

Пример. 1) А{a,b},B{a,c,d}

AB={<a,a>,<a,c>,<a,d>,<b,a>,<b,c>,<b,d>}.

Если пару чисел <a,b> изобразить на координатной оси точкой, абсцисса которой равна 1-ой компоненте, а ордината второй компоненте пары (можно условиться и наоборот), то графики

Если A[2,3], то , гдеD- область действительных чисел.

Определение2. Прямым произведением множеств называется и черезобозначается множество, состоящее из всех тех и только тех кортежей длиныr, первая компонента которых принадлежит A, вторая- Аи т.д.r-я компонента-принадлежит A.

Пример: A{1,2}, A{3,4,5}, A{6,7}

Следует подчеркнуть, что большинство привычных нам из арифметики свойств умножения чисел не верны для произведения множеств:

1) 3)

2) 4)

Определение3. n декартовой степенью множества М (n=2,3,…,) которая обозначается , называется декартово произведение множества М на себяn раз:ММММ

Специальными определениями положим:

1) М, 2){}.

Заметим, что =,

Если n2, M-множество картежей длины n над М.

Пример: М{a,b}, M={},M’=M={a,b}.

M={<a,a>,<a,b>,<b,a>,<b,b>}

Заметим, что 1) если М, то

2) Если Mи St, то

Например, М

3) Если

Для произвольного множества М введём следующее обозначение:

Допуская некоторую вольность, можно сказать, что М- множество всех кортежей над М. Вольность состоит в том, что М’=М не есть множество кортежей длины 1 над М.

Связь умножения чисел и прямого произведения множеств проявляется в следующем утверждении:

Пусть конечные множества. Пусть множествосодержитэлементов, множествоAсодержит nэлементов,…, множество Aсодержит nэлементов. Тогда прямое произведение множеств:содержитA={1,2} A={3,4,5} A={6,7} элементов.

содержит элементов.