§2. Подмножество.

Определение1. Подмножеством или частью множества M называется любое множество M, включающееся в M. MM-обозначение подмножества M

MM- если не верно, что MM. MM MM M=M.

Стоит подчеркнуть, что у нас нет понятия «подмножество», а есть понятие «подмножество данного множества».

M={1,2,3,…,n}

M={2,4,6,8,…,n}

MMx MxM.

Например, для множества всех действительных чисел подмножествами будут: множество всех рациональных чисел, множество всех целых чисел, множество всех натуральных чисел, единичное множество {3}.

Используя понятие MM, можем записать: A=BAB&BA.

Подмножества множества M будем обозначать буквами: X,X,X,…; подмножества множества N- буквами: Y,Y,Y,…. Множество всех подмножеств множества M будем обозначать Ф(M), его предметные переменные-X,X’,X’’,…. MM, ФM.

У любого множества M есть, по крайней мере, два подмножества: само M и пустое множество . Впрочем, у пустого множестваMэти два подмножества, очевидно, совпадают : M=. ПодмножестваM и множестваM называются несобственными подмножествами множества M.

Все остальные подмножества множества M, если такие есть, называются его собственными подмножествами. Очевидно у пустого множества и у одноэлементного множества собственных подмножеств нет. У одноэлементного множества M={a}всего два несобственных подмножества: M и . У (любого) двухэлементного множестваM {a,b} уже два собственных подмножества: M={a} и M={b}.

Множество А называется истинным подмножеством множества В, если АВ; т.е.

ABABAB. (1)

Из этого (1) определения, как обычно, вытекает теорема, т.е. истинное утверждение:

ABABAB. (2)

Очевидно ABABAB.(3)

Пустое множество не содержит истинных подмножеств и является само истинным подмножеством любого непустого множества. У одноэлементного множества {a}, очевидно кроме пустого подмножества других истинных подмножеств нет. У двухэлементного множества M={a,b} уже три истинных подмножества: ,{a} и {b} (но два собственных подмножества {a}и{b}).

Собственные подмножества есть истинные +.

Элементами множества могут быть сами множества.

Например: 1) M{{1,2},{3,4},5}.

2) L{1,2,{1,2}}.

Тогда, очевидно, верны оба следующих утверждения:

{1,2} L как элемент множества

{1,2}L как подмножество

Если N{{a}}, то {a}N верно, а {a}N не верно.

Пусть Ф(M)-система (множество) всех подмножеств множества M.

Если M,Ф(M)={}={M}. -

Если M{a}Ф(M)={,M}. -

Если M{a,b}Ф(M)={Ф,{a},{b},{M}}. -

Очевидно AФ(M)AM.

Если M-бесконечное множество, то и Ф(М), очевидно, бесконечное множество.

-число всех подмножеств n-элементного множества М, т.е. число элементов множества Ф(М).

§3. Операции над множествами

Определение 1. Соединение (объединением) множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А, В, т.е. принадлежит А или принадлежит В.

Соединение множеств А и В называется также случайной множеств А и В и обозначается иногда через А+В.

U-первая буква слова Union (объединение).

Таким образом, xAUBxAxB.

Пример: 1) A{1,2,3,4,5}

2) B{2,4,6,7}

AUB={1,2,3,4,5,6,7}

Графически А-множество точек левого круга

B-множество точек правого круга

(диаграммы Венна-круги Эйлера)

А В АB

В общем случае:

Пусть M-произвольная (конечная или бесконечная) система множеств. Тогда соединением (объединением) множеств из M или соединением (объединением) системы множеств М называется и через U X обозначается множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств системы M перенумерованы всеми натуральными числами, то X обозначается через X.

В выражении X буква X является связанной переменной, от X оно не зависит. Поэтому X=A=B и т.д.

Аналогичные значение справедливо для буквы i в выражении X.

Если M{A,B}, то X=AB.

Если M{A,B,C}, то X=ABC.

Если M, то X=.

-пересечение ()

Определение 2. Пересечение множеств А и В называется множества, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат каждому из множеств А, В, т.е. принадлежат В и А одновременно.

Т.о. xABxA& xB.

Пример: А{1,2,3,4}. В{1,3,6} АВ={1,3}.

Пересечение множеств А и B называется произведением множеств А и В и обозначается А*В или АВ.

Если АВ=, то говорят, что множества А и В не пере

AB

секаются.

Если АВ, то множества А и В- пересекающиеся.

Следует строго говоря, подчеркнуть, что пересечение сужествует у любых двух множеств, в том числе- у непересекающихся, только у непересекающихся множеств оно равно пустому множеству.

Подобно тому, как это делалось для соединения, определяются пересечение n множеств и пересечение системы множестви.

Если M{A,B}, то =AB.

Если M{A,B,C}, то =ABC.

В отличие от иоперация дополнения определяется только для двух множеств.

Определение 3. Разностью (дополнением) множества А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат А и не принадлежат В.

Т.о. xA\BxА&xВ.

Разность множеств А и В иногда обозначается А-В.

Если А

{1,3,5}

В{1,3,6,7}

А\В={5}

B\A={6,7}

Заметим, что дополнением множества А до множества М можно тогда называть разность М\А, когда М-самое большое (универсальное) из рассматриваемых множеств. В рассуждениях обычно фиксируется множество предметов, свойства которых исследуются, в данной науке. Это множество называется ….(или универсальным) (Обозначают его иногда 1,R). Например, в арифметике натуральных чисел-множество всех натуральных чисел; в антропологии-множество всех людей. В этом случае дополнение множества А обозначается: Разумеется, если «универсум» М не указан или не ясен из контекста, то три последних обозначения (СА,) недопустим и термин «дополнение» (до чего?) не понятен.

Следует подчеркнуть, что операции пересечения и объединения применимы к любым двум подмножествам (множествам) и называется бинарными операциями, а операция дополнения есть ….. операция (unus-один, bini-два-латинский) и применима к любому одному подмножеству (множеству).