Глава II. Основные понятия теории множеств

§1. Множества. Равенство и включение множеств.

Понятие множества является исходным, первоначальным и неопределяемыми понятием; его можно только пояснить на примерах. Сам Г. Контор (основатель теории множеств) описывал введённый им термин множество следующим образом: «Под множеством мы понимаем любое объединение в одно целое M определённых вполне различаемых объектов m из нашего восприятия или мысли, которые называются «элементами» M.

Например: множество натуральных чисел, множество студентов в данной аудитории, множество всех букв на данной странице и т.д. Синонимами к термину «множество» являются употребляемые в повседневной практике слова «совокупность», «коллекция», «собрание», «класс», «система», «геометрическое место точек», «область».

Предметы, составляющие данное множество, называются его элементами.

Как видим из приведённых примеров, элементами множества могут быть самые разнообразные предметы: буквы, числа, люди и т.д. Раздел математики, в котором изучаются свойства множеств, независимо от того, каковы элементы этих множеств называется теорией множеств. Отсюда с самого начала ясна чрезвычайная широта теории множеств и её приложимость к очень многим областям знания (математика, механика, и т.д.)

Вместе с терминами «множество» вводится (также неопределяемый) термин «принадлежит» (синоним: «лежит в»).

Например: 1) Число 3 принадлежит множеству натуральных чител;

2) Буква А принадлежит множеству букв русского алфавита.

Вместо того, чтобы говорить «принадлежит», часто говорят «является элементом» (членом, точкой).

Обозначения для множеств.

Множества будет чаще всего обозначать прописными буквами латинского алфавита – M, N, J,.., E, а элементы множества- строчными буквами

Условие, что есть элемент множестваM записывают следующим образом: и читают кратко: «принадлежитM» или «M содержит »; условие, чтоне является элементом множестваM записывают так: () и читают: «не принадлежитM» или «M не содержит ».

Знак (букву) называют символом принадлежности.

Поскольку понятие множества является неопределяемым, с ним надо обращаться осторожно. Рекомендуется говорить лишь с таких множествах, возможные элементы которых были бы достаточно чётко очерченными, относительно которых можно быть уверенным, что любой достаточно «понятный» объект либо принадлежит, либо не принадлежит рассматриваемому кандидату в «множестве».

Например, вряд ли разумно рассматривать множество идей множество капель воды в стакане и т.п.

Так как само понятие множества не является достаточно чётким, нельзя рассматривать также и множество всех множеств.

2) Виды множеств: конечные и бесконечные.

Конечное множество- это такое множество, число элементов которого конечно, т.е. для этого множества можно указать такое натуральное число, которое является числом его элементов.

Например: множество жителей на Земле- конечное.

Множество называется бесконечным, если оно не является конечным.

Например: множество всех треугольников на плоскости- бесконечное.

3) Способы задания множеств: перечисление и описание.

Перечислением можно задать только конечное множество; последнее можно задать и описанием.

Бесконечные множества можно, разумеется, задавать лишь описанием какого- либо характеристического свойства, устанавливающего, какие- не принадлежат задаваемому множеству.

Например, множество (бесконечное ) всех действительных чисел, заключённых между 0 и 1, определяется свойствами: «быть действительным числом, большим 0 и меньшим 1».

Когда хотят указать конечное множество, скажем, состоящее из элементов a, b, c, то их объединяют в скобки {a,b,c}, или в общем случае {}n- конечные. Однако такое обозначение, вроде {2,4,6,8,…} часто используют чтобы изобразить, обозначить бесконечное множество. Разумеется, такой способ обозначения бесконечных множеств допустим лишь, если из нарисованной части «картинке» ясен смысл скрывающийся под многоточием «и т.д.».

Введём еще один способ обозначения множеств, который будет полезен нам в дальнейшем.

Пусть M- множество, U(x)- одноместная высказывательная форма и область значений переменной x- множество M.

Тогда через E{xU(x)} (1)

Обозначим множество, состоящее из всех тех и только тех элементов a множества M, для которых U(a) истинно.

Т.о. E{xM|U(x)}aM&U(a) (2)

Например, E{xN|x>3} состоит из чисел 4,5,6,…

Буква x в выражении (1) является связанной переменной. От x выражение (1) не зависит.

Понятие:

1. Мощности множества (|M|).

2. Счётного множества N

Два множества Mи M называются равными, если они состоят из одинаковых элементов. В символах M= M( M M).

Из понимания равенства множеств вытекает, что порядок элементов в множестве несуществен, т.е. например

{3,4,5,6}={4,5,6,3}.

Считаем, что в множестве элементы расположены «в беспорядке». Множество- по определению Лузина это, так сказать, мешок с элементами. Поэтому, в частности, говорить о первом, втором,… элементе данного множества можно лишь тогда, когда предварительно элементы множества как-нибудь перенумерованы т.е. их можно сосчитать.

Для того чтобы понятие «число элементов множества» было вполне определённым, нужно- при нашем понятии равенства множеств- очевидно, условиться, что в множестве не бывает одинаковых (неразличимых) элементов.

Условимся считать, что существует множество, не имеющие элементов.

Это множество мы будем называть пустым множеством-,M=,M.

Несколько обобщая понятие конечного множества, пустое множество будет также относить к конечным множествам. Необходимость введения понятия «пустое множество» видна хотя бы из того, что задавая множество описанием, характеристическим свойством его элементов, мы можем и не знать заранее, существует ли хотя бы один объект, обладающий вышеупомянутым свойством. Иначе мы не могли бы, скажем, говорить о множестве корней произвольного уравнения, не убедившись предварительно, что данное уравнение имеет хотя бы один корень. Мы увидим ниже, что существование понятия «пустое множество» будет сокращать и упрощать многие формулировки теорем, будет облегчать нам введение новых понятий и т.д. Следующим по количеству элементов за пустым множеством идёт одноэлементное множество.

Например, множество простых делителей 64- одноэлементное множество, единственным элементом которого является число 2, т.е. {2}.

Следует различать одноэлементное множество {a}, единственным элементом которого является a, и сам объект a. На вопрос, который иногда ставят: «а какая разница между a и{a}?» можно ответить лишь, что «множество»- это некая новая категория, новая сущность, новое …

{2}-это множество. О множестве{2} нельзя задавать вопрос, чётное ли оно.

Множество не бывает чётным или нечётным. Множество бывает одноэлементным и более, конечным или бесконечным, пустым или не пустым.

2- это число. Наоборот, о числе 2 нельзя спрашивать, одноэлементное оно или двухэлементное. Число бывает чётным или нечётным, простым или составным и т.д. 2- чётное простое число.

Очевидно

1. a{a};

2. E{xM|x=x}=M;

3. E{xM|xx}=

4. Если a, E{xM|x=a}={a}.

Если каждый элемент множества Mпринадлежит множеству M, то гов рят, что Mвключается в M или, что Mвключает M, и пишут M M или M M. Знак «»(«»)- называется символом включения (строго включения) множеств.

Очевидно, A=BAB и BA.