§3 Равенство

Буква = читается «равно» или «равняется». В математике буква = употребляется, к сожалению, во многих смыслах.

Укажем для примера несколько разных употреблений буквы =.

1. Чаще всего буква = употребляется в смысле, который можно, пожалуй, описать такими словами: два имени (обозначения, названия) одного и того же. Например, выражение «2∙6=3∙4» означает, что 2∙6 и 3∙4- имена одного и того же числа (одно и то же число). Этот смысл буквы = будет считать её главным так сказать законным смыслом.

2. В другом, очевидно, смысл буквы = употребляется в уравнениях. Когда даётся уравнение A(x)=B(x), то вовсе не утверждается , что A(x) и B(x) -два имени одного и того же. Просто ставится задача: найти такие x, что ….

3. Для обозначения равносильности числовых форм: (x+1)І=xІ+2x+1.

4. Иногда буква = употребляется просто для образования высказывательных форм специального вида: A(x)=B(x).При замене всех переменных их значениями высказывательная форма превращается в высказывание (истинное или ложное) и буква = приобретает первый смысл («два имени одного и того же»).

5. Рассмотрим выражение

n!=1∙2∙3∙….∙n (1)

В каком смысле здесь употребительна буква = ? С одной стороны, она конечно, утверждает, что слева и справа от неё стоят два имени одного и того же числа. Но, с другой стороны, помему n! 1∙2∙…n- два имени одного и того же числа? Очевидно, всё доказательство исчерпывается словами: «по определённым»

Ведь равенство (1) просто является определением (n) того выражения, которое стоит слева от буквы =. Ещё, так сказать, минуту назад, до того, как мы дали это определение , n! и 1∙2∙…n не были именами одного и того же (выражение n! « минуту назад» не имело никакого смысла). Но вот мы дали это определение, и выражение n! и 1*2:::n превратились в имена одного и того же. Легко видеть, что хотя в (1) буква = и удовлетворяет два имени одного и того же, её смысл здесь несколько отличен от первого смысла буквы =. Такой же «несколько иной» смысл буква = имеет в любом определении.

6. Функции вводят очень часто при помощи выражений вида: y=xІ, y=sinx, y=2и т.п. В этом случае опять- таки буква = имеет особый, специфический смысл.

Более того об этом употреблении стоит сказать, что в нем никакого смысла. В этом случае больше чем в каком-нибудь другом, «ничто никому не равно». Недаром, Бурбаки предложили такие функции вводить выражением x, у=sinx, xи т.п.

Возможно, было бы лучше для каждого смысла буквы = ввести сво особый знак. Мы не столь радикально менять существующую символику, однако один смысл буквы = (пятый из перечисленных выше) мы всё-таки выделим своим, особым знаком.

Введём в алфавит новую букву: «» Выражениемы рассматриваем именно как букву, т.е. как единый нерасчленяемый символ. БуквуРекомендуется читать одним из следующих двух способов: «равно по определению» («равняется по определению») или «обозначим через». Буквурекомендуется использовать вместо буквы =, во- первых, в определениях, и во-вторых, во всевозможных «временных обозначениях» типа «обозначим числочерез» также являющихся по существу определениями, только- временными определениями, «определениями на час», определениями, вводимыми только на время того или иного рассуждения или доказательства. Итак, дляn: n! 1*2*…n. или U xy; -для числовых форм.

Введём в алфавит ещё одну букву: «». Рекомендуемое чтение: «равносильно по определению» или «обозначим через».

Буква имеет смысл, аналогичный смыслу введённой только что буквы, но ставится только между высказывательными формами. Например: 1)xyx<y или x=y.

2) x<yy>x

Сделаем несколько замечаний о термине «имя». Смысл термина «имя» делается более ясным после указания его синонимов: «обозначение», «название». Более подробно об этой довольно не тривиальной теории понятия «имя» можно прочитать у А. Черча («Введение в математику, ч. I). Здесь мы ограничимся лишь тремя замечаниями:

Во-первых, следует отличать имя предмета от самого предмета; например, Петя- имя мальчика.

- имя некоторого действительного числа.

Во-вторых, в математике чаще всего (но не всегда!) мы оперируем с именами предметов, а не с самими предметами;

В-третьих, в математике иногда в качестве имени предмета употребляется сам «именуемый» предмет.

Например, именем многочлена «2x+3» (а многочлен- это форма, т.е. нечто, написанное на бумаге) чаще всего служит само высказывание 2x+3.