§2. Переменная

Рассмотрим некоторые вопросы, относящиеся к изучению письменного математического языка.

Прежде всего введем в новом, отличном от традиционного, обобщенном смысле термины «буква», «алфавит», «слово».

Буквами будем называть знаки, которые в данном их применении рассматриваем только как целые.

Пример: а, а΄, ы, !, 2, =, ), и т.д.

Алфавит – конечный определенный набор букв.

Пример: русский алфавит: А, Б, В, Г, Д, …

латинский алфавит: А, В, С, …

Слово – это ряд написанных друг за другом букв. Слово в данном алфавите – это слово, каждая буква которого принадлежит данному алфавиту. Для однозначности чтения слов при их написании вводят ряд ограничений: должны быть отчетливо указаны начало и конец слова и т.д.

Из каких букв состоит алфавит математического языка?

В него входят, прежде всего все буквы русского алфавита (прописные и строчные, печатные и рукописные): ведь доказательства, их текст, как, впрочем, и формулировки, мы пишем на русском языке.

Для удобства обозначений включаются в алфавит буквы латинского, готического и греческого алфавитов. Затем в него войдут цифры, знаки препинания и собственно математические знаки (+,*, ,,,и т.д.).

В математических текстах часто встречаются выражения, написанные не в одну строчку, не линейно; эти выражения не являются, следовательно, словами.

Например: .

Выражение – это написанная в каком-нибудь разумном, понятном порядке совокупность букв математического алфавита. От частного случая выражений – слов – выражения вообще отличаются возможной нелинейностью записи.

Перейдем к центральному понятию параграфа – понятию переменной. Прежде всего, еще до объяснения этого термина заметим, что слово «переменная» у нас будет самостоятельным словом, существительным, а не прилагательным, определением к какому-нибудь другому существительному. Никаких терминов вроде «переменная величина» у нас не будет.

Прежде всего переменная – это просто буква.

Переменными в некотором данном выражении мы будем называть те буквы, которые … специальным указанием (высказанным в момент задания выражения) будут объявлены таковыми. Таким образом, если это специально не указано, никакого ответа на вопрос «какие буквы являются переменными в выражении a+x?» дать нельзя.

Объявляя букву переменной, полагается одновременно задавать область значений (область определения) этой переменной, то есть ту совокупность, из которой мы собираемся черпать значения переменной для подстановки их на место переменной.

Отметим, что переменная считается полностью заданной лишь тогда, когда ей приписана какая-нибудь область значений.

Переменную, в область значений которой входят только числа, будем называть числовой переменной.

Выражение, содержащее переменные, будем называть формой;

выражение не содержащее переменных – константой.

Форма называется S-местной, если она содержит S переменных. (S=1,2,3,4…)

Пример: - если переменными объявить буквыx,y, то форма будет двухместной (а те трехместной).

Допустимыми значениями данной переменной относительно данной одноместной формы называются те ее значения (из области значений переменной), подстановка которого вместо переменной превращает форму в осмысленное выражение. Одноместная форма называется всюду определённой, если любое значение её переменной является допустимым. Одноместная форма называется нигде не определённой, если никакое значение её переменной не является допустимым.

Примеры: 1) Пусть в выражении переменной будет буква х с областью значений {r,+,3,5,0}. Допустим значениями переменной x в этом случае являются 3 и 5. Форма не является ни всюду определённой, ни нигде не определённой. Переменная x не является числовой.

2) Пусть в выражении переменной будет букваx {3,5,0}. Допустимым значением переменнойx в этом случае опять являются 3 и 5. Форма снова не является ни всюду определённой. Зато переменная x на этот раз является числовой.

3) Пусть в выражении переменной будет букваx с областью значений {3,5}.

Форма является всюду определенной. Переменная является числовой.

4)Пусть в выражении переменной будет букваx с областью значений, состоящей из одного числа 0. В этом случае рассматриваемая форма будет нигде не определенной. Переменная снова будет числовой.

5) Пусть в выражении переменной будет букваx с областью значений

{, +}. Форма будет нигде не определенной. Переменная не является числовой.

S-местная форма называется всюду определенной, если при любых значениях своих переменных (из соответствующих областей значения) она имеет смысл. S-местная форма называется нигде не переменной, если при любом наборе значений своих переменных она не имеет смысла.

S-местную форму будем обозначать A(x, y, 2, …m). Иногда допускается обозначать просто A. Например, двухместную форму x(a+y) с var x, y можно обозначать как просто A, так и A (x,y), A (x,y,z), A (x,y,z,u), но не A (x). Иногда вместо того, чтобы говорить, что A - форма с переменными x, y, z мы будем говорить, что A зависит от x, y, z. Соответственно, «A не зависит от x» означает, что буква x не является переменной в форме A.

Пусть A (x, y, z) – форма, объекты a, b, c принадлежит области значений, соответственно, переменных x, y и z. Результат подстановки в форму A объектов a, b и c вместо, соответственно, переменных x, y и z будем обозначать через A (a,b,c).

Выражение A (a,b,c) либо осмысленно, либо нет. Если A (a,b,c) осмысленно, то будем обозначать это так: ! A (a,b,c) и говорить в этом случае либо «A (a,b,c) определено», либо «форма A (x, y, z) определена при x=a, y=b, z=c».

Назовем формы A и B равносильными, если при любом наборе значений всех переменных, входящих в обе эти формы, либо они обе не определены, либо обе определены и обозначают одно и то же (имеет одинаковое значение).

Равносильные формы: A B

Неравносильные формы: A B

Пример:

+

Форму A назовем равносильной константе А, если при любом наборе значений переменных формы A она на этом наборе означает то же, что и константа А. В символах: A А.

Константы А и В назовем равносильными (АВ), если они обозначают одно и то же.

1). 1

2). 3+58

Примеры: 6). Формы (x+1)І и равносильны. Разумеется, полагалось бы сначала объявить, что переменной в этих выражениях мы считаем буквуx (и только ее), и задать ее область значений. В большинстве случаев мы будем, как это и делается на практике, своими обозначениями молчалива объявлять те или иные буквы переменными.

Важнейшими классами форм являются класс числовых форм и класс высказывательных форм.

2) Форма называется числовой, если при любом наборе значений своих переменных, на котором она определена, она обозначает число (является числом). Все вышеприведённые примеры содержат числовые формы.

Для обозначения равносильности числовых форм и числовых констант (чисел), помимо общего для всех форм и констант знака …, используется чаще свой специфический знак «=».

(x+1)І=xІ+2x+1, ,sinІx+cosІx=1, 3+5=8.

Соответственно, неравносильность обозначается знаком «≠».

2) Вторым важнейшим классом форм является класс высказывательных форм. Форма называется высказывательной, если при любом наборе значений своих переменных, на котором она определена, она обозначает высказывание которые будем считать имеет только два значения: «истина» или «ложь».

Вместо того, чтобы говорить: «высказывание А истинно» или высказывание В ложно», удобно ввести для слов «истина» «ложь» объединяющий термин «истинное значение» и говорить длиннее но единообразнее: «высказывание А имеет (принимает) истинностное значение «истинна», «высказывание В имеет (принимает) истинностное значение «ложь». Условимся значением высказывания считать его истинное значение (как бы отождествлялся все истинные высказывания и, отдельно, все ложные высказывания).

Примеры: 1. Форма x>3, где переменная x имеет естественную высказывательную область значений (действительные числа)

2. 2*2=x – также высказывательная форма

3. Форма sinx=2 при любом x превращается в ложное высказывание.

4. Форма sinІx+cosІx=1 при любом x – истинное высказывание.

Для обозначения равносильности (неравносильности) высказывательных форм и высказывательных констант (высказываний) мы, наряду с общим для всех форм и констант знаком (), будем также использовать свой, специфический знак «»(«»).

Пример: 1).

2).

3).

4).

5).

Понятие «связанной переменной» и «свободной переменной».

1. В математике встречаются такие выражения, в которых некоторая буква не является переменной (точнее: некоторую букву неразумно считать переменной, т.к. подстановка вместо неё не имеет смысла или не интересна), но на некотором этапе образования рассматриваемого выражения из более простых выражений она была переменной (её естественно было считать переменной).

Т.о., у нас связанная «не настоящая» переменная-это не переменная, а свободная переменная-то же самое, что просто переменная.

Пример: 1. В выражении «» (являющаяся высказыванием), буквуn неразумно считать переменной, т.к. вместо неё подставлять числа нельзя: «»-бессмыслица.

Но в выражении , из которого- в интуитивном смысле- образовано выражение «», буквуn естественно считать переменной. Поэтому в выражении «» букваn является связанной переменной.

2. В выражении «» букваn является связанной переменной, буква x-свободной переменной.

3. В выражении букваx является свободно переменной.

4. В выражении букваx (как предел интегрирования) является свободной var, а это буква x стоящая при d-связанной.

5. В выражении буквыa,b-свободные var, i-связанная var.

6. В выражении буквыa,b,j-свободные var, i-связанная var.

7. В выражении буквыa,b-свободные var, i-связанная var.