§2. Высказывательная форма.

Высказывательные формы, которые мы рассматривали в §1, зависит только от высказывательных переменных. Высказывательные формы, встречаюшиеся не в специальных логико-математических исследованиях, а в самой математике, зависят обычно не от высказывательных, а от всяких иных (например, числовых) переменных.

В общем случае высказывательная форма может, конечно, зависеть от переменных любого вида.

Например, выражение является (естественно считать) двухместной высказывательной формой с высказывательной переменнойи числовой переменной.

Введенные в §1 операции над высказываниями являются, очевидно, также операциями над высказывательными формами.

Рассмотрим вопрос о соотношении между равносильностью двух высказывательных форм и их эквиваленцией.

I. Если сначала и- высказывания, то

есть равносильные высказывания.

II. Если и- высказывательные формы, то

Например I.

1)

2)

II. Легко видеть, что высказывание истинно (т.е. высказывательные формыиравносильны) тогда и только тогда, когда высказывательная формаистинна при любых значениях переменных.

Областью истинности одноместной высказывательной формы называется и через(или) обозначается множество тех значений переменной, при которых формаистинна.

Т.о., если - область значений переменной, то

Иногда (1) записывают длиннее:

Пусть -- местная () высказывательная форма.

Пусть областью определения переменной , будет множество

,

Областью истинности высказывательной формы называется и через(или) обозначается множество тех картежей, для которых- истинно

Например:

- действительные числа

Заметим, что для данного примера

Заметим далее, что предложения «» и «истинно» осмысленны, а предложения «» и «» истинно бессмысленны не корректны.

С другой стороны (при соответствующем смысле букв )

Понятие области истинности позволяет связать операции над множествами с операциями высказывательными формами.

а)

б) и если, то

с)

Заметим в заключение, что выражение может зависеть не только оти, но и оти. Буквыитоже могут быть переменными.

Задачи.

1. Выразить область истинности высказывательной формы через области истинности высказывательных форми, если

а)

б)

§3. Кванторы.

Рассмотрим две операции, применимые только к высказывательным формам, но не к высказываниям.

Эти операции, так называемые операции навешивания кванторов, будучи примененными к высказывательной форме, приводят либо снова к высказывательной форме, либо к высказыванию.

Начнем с простейшего случая.

1) Пусть - одноместная высказывательная форма

- (- область значений переменной)

Обозначим через (1)

или если область значений переменной ясна из контекста,

через (2)

следующее высказывание: «для любого значения переменной высказывание, получающееся подстановкой этого значения в формувместо, истинно».

Разумеется, высказывание (1) или (2) может быть для одной формы истинности, для другой – ложности.

Иногда (1) или (2) читают короче:

1. «для любого истинно»

2. «для любого »

Букву называют квантором общности.

(выражение ) и- квантором общности по переменной;

переход от формы к высказыванию (1), (2) – навешиваем на формуквантора общности по переменной.

Обозначим через

(3)

или через (4)

следующее высказывание: «существует такое значение переменной , что высказывание, получающееся подстановкой этого значения в формувместо, истинно».

Это высказывание также часто читают короче:

1) «существует такое , чтоистинно»

или 2) «существует такое , что».

Буква называется квантором существования;

Выражение и-квантором существования по переменной ;

Переход от формы к высказыванию (3), (4) – навешиванием на формуквантора существования по переменной.

В выражениях (1)(4) букваявляется связанной переменной: навешивание квантора связывает переменную. Отэти выражения не зависят. В то же время эти выражения могут зависеть оти.

Если ине фиксированы, то (1)(4) являются не высказываниями, а высказывательными формами;

Если же и- фиксированы, обозначают какие-то конкретную высказывательную форму и множество, то (1)(4) – высказывания.

Пример:

1) - истинное высказывание

2) - ложное высказывание

- истинно

Оговорим специально случай, когда .

, (5)

(6)

Квантор общности является обобщением, аналогом конъюнкции, а квантор существования – аналогом дизъюнкции на произвольное, не обязательно конечное, множество.

Пусть . Тогда для любой формы:

(7)

(8)

Указанная аналогия подкрепляется следующими важными утверждениями, в которых область значений переменной уже не обязательно конечна:

(9)

(10)

49